如圖，A，B，C是圓O上三個點，AD是∠BAC的平分線，交圓O于D，過B做直線BE交AD延長線于E，使BD平分∠EBC．
（1）求證：BE是圓O的切線；
（2）若AE=6，AB=4，BD=3，求DE的長．
考點：與圓有關的比例線段
專題：直線與圓,推理和證明
分析：（1）連接BO并延長交圓O于G，連接GC，由已知條件推導出∠GBC+∠EBC=90°，從而得到OB⊥BE．由此能證明BE是圓O的切線．
（2）由（1）知△BDE∽△ABE，從而得到AE•BD=AB•BE，由此利用切割線定理能求出DE．
解答： （1）證明：連接BO并延長交圓O于G，連接GC，
∵∠DBC=∠DAC，又∵AD平分∠BAC，BD平分∠EBC，
∴∠EBC=∠BAC．
又∵∠BGC=∠BAC，∴∠EBC=∠BGC，
∵∠GBC+∠BGC=90°，
∴∠GBC+∠EBC=90°，∴OB⊥BE．
∴BE是圓O的切線．…（5分）
（2）由（1）知△BDE∽△ABE，
BE
AE
=
BD
AB
，
∴AE•BD=AB•BE，AE=6，AB=4，BD=3，
∴BE=
9
2
．…（8分）
由切割線定理得BE2=DE•AE，
∴DE=
27
8
．…（10分）
點評：本題考查圓的切線的證明，考查線段長的求法，是非曲直中檔題，解題時要認真審題，注意切割線定理的合理運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

復數(shù)z=m2（
1
m+8
+i）+（6m-16）i-
m+2
m+8
．（i為虛數(shù)單位）
（1）若復數(shù)z為純虛數(shù)，求實數(shù)m的值；
（2）若復數(shù)z對應的點在第三象限或第四象限，求實數(shù)m的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
16
=1．
（Ⅰ）求橢圓C的長軸長及離心率；
（Ⅱ）已知直線l過（1，0），與橢圓C交于A，B兩點，M為橢圓C的左頂點．是否存在直線l使得∠AMB=60°？如果有，求出直線l的方程；如果沒有，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點為F（1，0），離心率e=
2
2
，A，B是橢圓上的兩動點，動點P滿足
OP
=
OA
+λ
OB
，（其中實數(shù)λ為常數(shù)）．
（1）求橢圓標準方程；
（2）當λ=1，且直線AB過F點且垂直于x軸時，求過A，B，P三點的外接圓方程；
（3）若直線OA與OB的斜率乘積kOA•kOB=-
1
2
，問是否存在常數(shù)λ，使得動點P滿足PG+PQ=4，其中G（-
2
，0），Q（
2
，0），若存在求出λ的值，若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設f（x）=（1+x）n=C
 
0
n
+C
 
1
n
x+C
 
2
n
x2+…+C
 
n-1
n
xn-1+C
 
n
n
xn（n是正整數(shù)），利用賦值法解決下列問題：
（1）求S1=C
 
0
n
+C
 
1
n
+C
 
2
n
+…+C
 
n
n
；
（2）n為偶數(shù)時，求S2=C
 
1
n
+C
 
3
n
+C
 
5
n
+…+C
 
n-1
n
；
（3）n是3的倍數(shù)時，求S3=C
 
2
n
+C
 
5
n
+C
 
8
n
+…+C
 
n-1
n
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
3
ax3-
1
2
(a+1)x2+bx(a，b∈R，a≠1，a＞0)在x=1時取得極值．
（1）求b的值；
（2）求f（x）的單調減區(qū)間．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=10，an+1=9Sn+10，設Tn是數(shù)列{
3
(lgan)(lgan+1)
}的前n項和，求使Tn＞
1
4
（m2-5m）對所有的n∈N成立的最大正整數(shù)m的值集合．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在銳角△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，且
3
b=2csinB．
（1）求角C的大小．
（2）若c=4，且△ABC的面積為4
3
，求△ABC的周長．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，△ABC中，O為外心，三條高AD、BE、CF交于點H，直線ED和AB交于點M，F(xiàn)D和AC交于點N．求證：OB⊥DF．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案