Question

如圖，直三棱柱（側(cè)棱垂直于底面的三棱柱）ABC-A₁B₁C₁的各棱長(zhǎng)都相等，M、E分別是AB和AB₁的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上，且滿足BF=1，F(xiàn)C=3．
（Ⅰ）求證：BB₁∥平面EFM；
（Ⅱ）求二面角A-ME-F的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定

專題：空間角

分析：（Ⅰ）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明BB₁∥平面EFM；
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法即可求出二面角A-ME-F的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）∵M(jìn)、E分別是AB和AB₁的中點(diǎn)，
∴ME∥BB₁，
又ME?平面EFM，BB₁?平面EFM，
則BB₁∥平面EFM；
（Ⅱ）過A做AO⊥BC于O，取BC₁的中點(diǎn)N，分別以O(shè)B，ON，OA所在的直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
則A（0，0，2

3

），M（1，0，

3

），E（1，2，

3

），F(xiàn)（1，0，0），
由

AM

=(1，0，-

3

)，

AE

=（1，2，-

3

），得平面AME的一個(gè)法向量為

m

由

FM

=(1，0，

3

)，

FE

=（0，2，

3

），得平面MEF的一個(gè)法向量為

n

=(1，0，0)，
因此cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

3

2

由圖可知二面角A-ME-F的平面角為鈍角，則二面角A-ME-F的余弦值為-

3

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線面平行的判定，以及二面角的求法，建立坐標(biāo)系利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．