Question

8．在△ABC中，cosB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，cosC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，且△ABC的面積為$\sqrt{2}$．
（1）求AB邊的長；
（2）若D為邊BC上一點，且AD平分∠BAC，求BD的長．

Answer 1

分析 （1）由條件可得sinB和sinC的值，設BC邊上的高AE=h，則AB=$\sqrt{3}$h，AC=3h，BC=BE+EC=$\sqrt{2}$h+2$\sqrt{2}$h．再根據(jù)△ABC的面積為 $\frac{1}{2}$BC•AE=$\sqrt{2}$，求得h的值，可得AB 的值．
（2）由條件利用內角平分線的性質，求得BD的值．

解答 解：（1）△ABC中，cosB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，cosC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，∴sinB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，sinC=$\frac{1}{3}$，設BC邊上的高AE=h，
則AB=$\sqrt{3}$h，AC=3h，BC=BE+EC=$\sqrt{2}$h+2$\sqrt{2}$h．
再根據(jù)△ABC的面積為 $\frac{1}{2}$BC•AE=（$\sqrt{2}$h+2$\sqrt{2}$h）•h=$\sqrt{2}$，求得h=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴AB=$\sqrt{3}$h=$\sqrt{2}$．
（2）若D為邊BC上一點，且AD平分∠BAC，則由內角平分線的性質可得$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{DC}$，
即 $\frac{\sqrt{3}•h}{3h}$=$\frac{BD}{3\sqrt{2}h-BD}$，求得BD=$\frac{3\sqrt{6}•h}{3+\sqrt{3}}$=3-$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查直角三角形中的邊角關系，內角平分線的性質，屬于中檔題．