Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x），f（-x）=-f（x），當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）=

2x

4x+1

．
（1）求f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）證明f（x）在（0，1）上是減函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：計算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式的步驟是比較固定的；
（2）定義法證明單調(diào)性，注意化簡．

解答： 解：（1）由題意，f（0）=0；
當(dāng)x∈（-1，0）時，-x∈（0，1），
f（x）=-f（-x）=-

2-x

4-x+1

=-

2x

4x+1

，
則f（x）=

- 2x 4x+1 ，-1＜x＜0 0，x=0 2x 4x+1 ，0＜x＜1

；
（2）證明：任取x₁，x₂∈（0，1），且x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=

2x1

4x1+1

-

2x2

4x2+1

=

(2x2-2x1)(2x12x2-1)

(4x1+1)(4x2+1)

，
∵0＜x₁＜x₂，
∴1＜2x1＜2x2，1＜4x1＜4x2，
∴

(2x2-2x1)(2x12x2-1)

(4x1+1)(4x2+1)

＞0，
即f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在（0，1）上是減函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用及函數(shù)的單調(diào)性的證明，注意化簡要細(xì)心，屬于基礎(chǔ)題．