【題目】如圖,三個校區(qū)分別位于扇形OAB的三個頂點上,點Q是弧AB的中點,現(xiàn)欲在線段OQ上找一處開挖工作坑P(不與點O,Q重合),為小區(qū)鋪設(shè)三條地下電纜管線PO,PA,PB,已知OA=2千米,∠AOB=,記∠APQ=θrad,地下電纜管線的總長度為y千米.

(1)將y表示成θ的函數(shù),并寫出θ的范圍;

(2)請確定工作坑P的位置,使地下電纜管線的總長度最。

【答案】(1)(2)P與O的距離為時,地下電纜管線的總長度最小

【解析】

1)首先根據(jù)Q為弧AB的中點,得到知PA=PB,∠AOP=∠BOP=利用正弦定理得到,根據(jù)OA=2,得到PA=,OP=從而得到y(tǒng)=PA+PB+OP=2PA+OP=,根據(jù)題意確定出

2)對函數(shù)求導(dǎo),令導(dǎo)數(shù)等于零,求得,確定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求得函數(shù)的最值.

(1)因為Q為弧AB的中點,由對稱性,知PA=PB,∠AOP=∠BOP=

又∠APO=,∠OAP=,

由正弦定理,得:,又OA=2,

所以,PA=,OP=,

所以,y=PA+PB+OP=2PA+OP=,

∠APQ>∠AOP,所以,,∠OAQ=∠OQA=,

所以,

(2)令,

,得:

上遞減,在上遞增

所以,當(dāng),即OP=時,有唯一的極小值,

即是最小值:=2,

答:當(dāng)工作坑P與O的距離為時,地下電纜管線的總長度最。

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在等腰中,斜邊為直角邊上的一點,將沿直線折疊至的位置,使得點在平面外,且點在平面上的射影在線段上設(shè),則的取值范圍是( )

A. B. C. D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為了研究家用轎車在高速公路上的車速情況,交通部門對100名家用轎車駕駛員進(jìn)行調(diào)查,得到其在高速公路上行駛時的平均車速情況為:在55名男性駕駛員中,平均車速超過100的有40人;在45名女性駕駛員中,平均車速不超過100的有25.

1)完成下面的列聯(lián)表,并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為平均車速超過100的人與性別有關(guān).

平均車速超過100人數(shù)

平均車速不超過100人數(shù)

合計

男性駕駛員人數(shù)

女性駕駛員人數(shù)

合計

2)以上述數(shù)據(jù)樣本來估計總體,現(xiàn)從高速公路上行駛的大量家用轎車中隨機(jī)抽取3輛,記這3輛車中駕駛員為男性且車速超過100的車輛數(shù)為,若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考公式與數(shù)據(jù):,其中

0.150

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】定義首項為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M-數(shù)列”.

1)已知等比數(shù)列{an}滿足:,求證:數(shù)列{an}為“M-數(shù)列”;

2)已知數(shù)列{bn}滿足:,其中Sn為數(shù)列{bn}的前n項和.

①求數(shù)列{bn}的通項公式;

②設(shè)m為正整數(shù),若存在“M-數(shù)列”{cn},對任意正整數(shù)k,當(dāng)km時,都有成立,求m的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,拋物線的焦點為F1,0),E是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點,直線AB經(jīng)過焦點F且與拋物線交于A,B兩點,直線AEBE分別交y軸于M,N兩點,記,的面積分別為

1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請說明理由;

3)求的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

1)若函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增,求實數(shù)的最大值;

2)當(dāng),確定函數(shù)零點的個數(shù);

3)若存在正實數(shù)對,使得當(dāng)時,能成立,求實數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)

1)當(dāng)時,求函數(shù)在點處的切線方程.

2)若對任意的恒成立,求的值.

3)在(2)的條件下,記,證明:存在唯一的極大值點,且

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知拋物線的焦點為,拋物線上的點到準(zhǔn)線的最小距離為2.

1)求拋物線的方程;

2)若過點作互相垂直的兩條直線,,與拋物線交于,兩點,與拋物線交于,兩點,,分別為弦,的中點,求的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】2020年開始,國家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科,采用3+3模式,其中語文、數(shù)學(xué)、外語三科為必考科目,滿分各150分,另外考生還要依據(jù)想考取的高校及專業(yè)的要求,結(jié)合自己的興趣愛好等因素,在思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6門科目中自選3門參加考試(6選3),每科目滿分100分.為了應(yīng)對新高考,某高中從高一年級1000名學(xué)生(其中男生550人,女生450人)中,根據(jù)性別分層,采用分層抽樣的方法從中抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.

(1)學(xué)校計劃在高一上學(xué)期開設(shè)選修中的“物理”和“地理”兩個科目,為了了解學(xué)生對這兩個科目的選課情況,對抽取到的100名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查(假定每名學(xué)生在這兩個科目中必須選擇一個科目且只能選擇一個科目),如表是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的列聯(lián)表.請將列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷是否有的把握認(rèn)為選擇科目與性別有關(guān)?說明你的理由;

(2)在抽取到的女生中按(1)中的選課情況進(jìn)行分層抽樣,從中抽出9名女生,再從這9名女生中隨機(jī)抽取4人,設(shè)這4人中選擇“地理”的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

選擇“物理”

選擇“地理”

總計

男生

10

女生

25

總計

附參考公式及數(shù)據(jù):,其中.

0.05

0.01

3.841

6.635

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