【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程.
(2)若對(duì)任意的恒成立,求的值.
(3)在(2)的條件下,記,證明:存在唯一的極大值點(diǎn),且.
【答案】(1);(2)實(shí)數(shù)的值為;(3)證明見(jiàn)解析.
【解析】
(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線的方程;
(2)等價(jià)轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的恒成立,令,求得,按照,,分類討論,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,并注意,得到實(shí)數(shù)的值;
(3)求得,令,利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性和最值,并根據(jù)零點(diǎn)存在定得到存在唯一的實(shí)數(shù),使得,進(jìn)而分析單調(diào)性,
是的唯一極大值點(diǎn).由,可得到,
利用的范圍和二次函數(shù)的性質(zhì)可以證明最后的結(jié)論.
(1)∵,∴,
當(dāng)時(shí),,,
切線方程為:,即;
(2)的定義域?yàn)?/span>,對(duì)任意的恒成立,等價(jià)于
,即對(duì)任意的恒成立,
令,,
當(dāng)時(shí),在上, 單調(diào)遞減,在上,單調(diào)遞增,
∴恒成立,符合題意;
當(dāng)時(shí),在上, 單調(diào)遞增,
注意到,故,不合題意;
時(shí),在上,單調(diào)遞減,
∴,不合題意,
綜上所述,,所以實(shí)數(shù)的值為.
(3),
,
令,則,
在上,,單調(diào)遞減,在上,,單調(diào)遞增,
,又∵,,
∴存在唯一的實(shí)數(shù),使得,
在在內(nèi),單調(diào)遞增,在內(nèi),單調(diào)遞減,在在內(nèi),單調(diào)遞增,
∴是的唯一極大值點(diǎn).
由
,
由于,,證明完畢.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“干支紀(jì)年法”是中國(guó)歷法自古以來(lái)就使用的紀(jì)年方法,甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸為十天干;子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥為十二地支.“干支紀(jì)年法”是以一個(gè)天干和一個(gè)地支按上述順序相配排列起來(lái),天干在前,地支在后,已知2017年是丁酉年,2018年是戊戌年,2019年是已亥年,依此類推,則2080年是____________年.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在貫徹中共中央、國(guó)務(wù)院關(guān)于精準(zhǔn)扶貧政策的過(guò)程中,某單位在某市定點(diǎn)幫扶某村戶貧困戶.為了做到精準(zhǔn)幫扶,工作組對(duì)這戶村民的年收入情況、危舊房情況、患病情況等進(jìn)行調(diào)查,并把調(diào)查結(jié)果轉(zhuǎn)化為各戶的貧困指標(biāo).將指標(biāo)按照,,,,分成五組,得到如圖所示的頻率分布直方圖.規(guī)定若,則認(rèn)定該戶為“絕對(duì)貧困戶”,否則認(rèn)定該戶為“相對(duì)貧困戶”;當(dāng)時(shí),認(rèn)定該戶為“亟待幫住戶”.工作組又對(duì)這戶家庭的受教育水平進(jìn)行評(píng)測(cè),家庭受教育水平記為“良好”與“不好”兩種.
(1)完成下面的列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為絕對(duì)貧困戶數(shù)與受教育水平不好有關(guān):
受教育水平良好 | 受教育水平不好 | 總計(jì) | |
絕對(duì)貧困戶 | |||
相對(duì)貧困戶 | |||
總計(jì) |
(2)上級(jí)部門為了調(diào)查這個(gè)村的特困戶分布情況,在貧困指標(biāo)處于的貧困戶中,隨機(jī)選取兩戶,用表示所選兩戶中“亟待幫助戶”的戶數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附:,其中.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,三個(gè)校區(qū)分別位于扇形OAB的三個(gè)頂點(diǎn)上,點(diǎn)Q是弧AB的中點(diǎn),現(xiàn)欲在線段OQ上找一處開(kāi)挖工作坑P(不與點(diǎn)O,Q重合),為小區(qū)鋪設(shè)三條地下電纜管線PO,PA,PB,已知OA=2千米,∠AOB=,記∠APQ=θrad,地下電纜管線的總長(zhǎng)度為y千米.
(1)將y表示成θ的函數(shù),并寫出θ的范圍;
(2)請(qǐng)確定工作坑P的位置,使地下電纜管線的總長(zhǎng)度最。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線 ,直線與拋物線相交于兩點(diǎn),且當(dāng)傾斜角為的直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)時(shí),有.
(1)求拋物線的方程;
(2)已知圓,是否存在傾斜角不為的直線,使得線段被圓截成三等分?若存在,求出直線的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,圓經(jīng)過(guò)伸縮變換后得到曲線.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,并在兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長(zhǎng)度,建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程及直線的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)到直線的距離的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】中央政府為了應(yīng)對(duì)因人口老齡化而造成的勞動(dòng)力短缺等問(wèn)題,擬定出臺(tái)“延遲退休年齡政策”.為了了解人們]對(duì)“延遲退休年齡政策”的態(tài)度,責(zé)成人社部進(jìn)行調(diào)研.人社部從網(wǎng)上年齡在15∽65歲的人群中隨機(jī)調(diào)查100人,調(diào)査數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖和支持“延遲退休”的人數(shù)與年齡的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下:
年齡 | |||||
支持“延遲退休”的人數(shù) | 15 | 5 | 15 | 28 | 17 |
(1)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為以45歲為分界點(diǎn)的不同人群對(duì)“延遲退休年齡政策”的支持度有差異;
45歲以下 | 45歲以上 | 總計(jì) | |
支持 | |||
不支持 | |||
總計(jì) |
(2)若以45歲為分界點(diǎn),從不支持“延遲退休”的人中按分層抽樣的方法抽取8人參加某項(xiàng)活動(dòng).現(xiàn)從這8人中隨機(jī)抽2人
①抽到1人是45歲以下時(shí),求抽到的另一人是45歲以上的概率.
②記抽到45歲以上的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.
參考數(shù)據(jù):
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
,其中
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知半徑為的球面上有兩點(diǎn),且,球心為,若是球面上的動(dòng)點(diǎn),且二面角的大小為,則四面體的外接球表面積為______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知常數(shù),函數(shù).
(1)討論在區(qū)間上的單調(diào)性;
(2)若存在兩個(gè)極值點(diǎn),且,求的取值范圍.
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