Question

在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A′B′C′D′中，如圖E、F分別為棱AB與BC的中點(diǎn)，EF∩BD=H；
（Ⅰ）求二面角B′-EF-B的正切值；
（Ⅱ）試在棱B′B上找一點(diǎn)M，使D′M⊥面EFB′，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì),與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（I）連結(jié)B′D′，AC，B′H，由已知條件推導(dǎo)出EF⊥平面BB′D′D，從布推導(dǎo)出∠B′HB為二面角B′-EF-B的平面角，由此能求出二面角B′-EF-B的正切值的大�。�
（II）在棱B′B上取中點(diǎn)M，連結(jié)D′M，則D′M⊥面EFB′．連結(jié)CM，由線面垂直得D′M⊥EF．由三垂線定理得B′F⊥D′M，由此能證明D′M⊥面EFB′．

解答： 解：（I）連結(jié)B′D′，AC，B′H，
∵底面ABCD為正方形，∴AC⊥BD，
又∵E，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，∴EF∥AC，∴EF⊥BD，
又∵棱B′B⊥底面ABCD，EF?底面ABCD，
∴EF⊥B′B，而B′B∩BD=B，∴EF⊥平面BB′D′D，
又∵B′H?面BB′D′D，BN?面BB′D′D，
∴EF⊥B′H，EF⊥BH，
∴∠B′HB為二面角B′-EF-B的平面角，
在RT△B′BH中，B′B=a，BH=

2

4

a，
∴tan∠B′HB=

B′B

BH

=2

2

，
∴二面角B′-EF-B的正切值的大小為2

2

．
（II）在棱B′B上取中點(diǎn)M，連結(jié)D′M，則D′M⊥面EFB′．
證明如下：
連結(jié)CM，∵EF⊥面BB′D′D，D′M?面BB′D′D，
∴D′M⊥EF．
又∵D′C′⊥面B′BCC′，∴C′M為D′M在面B′BCC′內(nèi)的射影．
在正方形B′BCC′中，M，F(xiàn)分別為B′，B和BC的中點(diǎn)，
∴B′F⊥C′M，于是由三垂線定理得B′F⊥D′M，
而B′F?面EFB′，EF?面EFB′，∴EF∩B′F=F，
∴D′M⊥面EFB′．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二面角的正切值的求法，考查直線與平面垂直的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．