Question

7．已知平面直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t是參數(shù)），以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C：ρ=2cosθ．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)系方程和直線l的普通方程；
（2）直線l和x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求AB的中點(diǎn)D到直線l的距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）直接結(jié)合曲線的參數(shù)方程和普通方程的互化公式進(jìn)行處理，然后，根據(jù)極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化公式進(jìn)行處理；
（2）可以借助于圓的參數(shù)方程，并結(jié)合三角函數(shù)的值域進(jìn)行處理即可．

解答 解：（1）由直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t是參數(shù)），得
x-y=4，
故該直線的普通方程為：x-y-4=0，
根據(jù)曲線C：ρ=2cosθ．得
ρ²=2ρcosθ，
∴x²+y²=2x，
∴（x-1）²+y²=1，
曲線C的直角坐標(biāo)系方程（x-1）²+y²=1．
（2）∵直線l和x軸交于點(diǎn)A，
∴A（4，0）．設(shè)點(diǎn)B（1+cosθ，sinθ），
∴D（$\frac{5+cosθ}{2}$，$\frac{1}{2}$sinθ），
∴d=$\frac{\sqrt{2}}{2}•|\frac{5+cosθ}{2}-\frac{1}{2}sinθ-4|$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•|$\frac{3}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（θ-$\frac{π}{4}$）|，
∴d的最大值為：$\frac{3\sqrt{2}}{4}$+$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題重點(diǎn)考查了參數(shù)方程和普通方程、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化進(jìn)行求解，考查了三角函數(shù)的值域問題，等知識(shí)，屬于綜合題目，難度中等．