【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓離心率是,焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離是3.
(1)求橢圓的方程;
(2)如圖,設(shè)A是橢圓的左頂點(diǎn),動(dòng)圓過定點(diǎn)E(1,0)和F(7,0),且與直線x=4交于點(diǎn)P,Q.
①求證:AP,AQ斜率的積是定值;
②設(shè)AP,AQ分別與橢圓交于點(diǎn)M,N,求證:直線MN過定點(diǎn).
【答案】(1);(2)①見解析;②見解析.
【解析】
(1)由橢圓的離心率得到,結(jié)合焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離可求出的值,進(jìn)而求出的值,即可得出橢圓的方程;(2) ①設(shè)動(dòng)圓圓心坐標(biāo)為 ,進(jìn)而寫出動(dòng)圓的方程,將直線的方程代入圓的方程,得出點(diǎn)兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積,再利用斜率公式可得出的斜率之積為定值;②設(shè)直線的方程為,將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,可得,由兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為 ,結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算出,從而得出直線過定點(diǎn).
(1)設(shè)橢圓的焦距為,由題意可得,所以,,
因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為,得c=1,所以,,
因此,橢圓的方程為;
(2)①設(shè)動(dòng)圓的圓心坐標(biāo)為,則圓的方程為,
設(shè)點(diǎn),令,可得,
則AP、AQ的斜率之積為(定值);
②設(shè)直線MN的方程為,設(shè)點(diǎn)
將直線MN的方程代入橢圓方程并化簡(jiǎn)得,
由韋達(dá)定理可得
因?yàn)?/span>A、M、P三點(diǎn)共線,則,
由于,,
所以,則,同理可得
由
,解得t=1,
因此,直線MN過定點(diǎn)(1,0).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若定義在R上的函數(shù) 滿足 ,其導(dǎo)函數(shù) 滿足 ,則下列結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】如圖,已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn),M、N分別是AB、PC的中點(diǎn).
(1)求證:MN∥平面PAD;
(2)在PB上確定一個(gè)點(diǎn)Q,使平面MNQ∥平面PAD.
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【題目】已知圓,為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)在圓外,過點(diǎn)作圓的切線,設(shè)切點(diǎn)為.
(1)若點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到處,求此時(shí)切線的方程;
(2)求滿足的點(diǎn)的軌跡方程.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線y=﹣2x+1與圓O:x2+y2=r2(r>0)交于M,N兩點(diǎn),且MN=.
(1)求M,N的坐標(biāo);
(2)求過O,M,N三點(diǎn)的圓的方程.
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【題目】如果數(shù)列a1 , a2 , a3 , … , an , …是等差數(shù)列,那么下列數(shù)列中不是等差數(shù)列的是:( )
A.a1+x , a2+x , a3+x , …,an+x ,
B.ka1 , ka2 , ka3 , …,kan ,
C.
D.a1 , a4 , a7 , …a3n﹣2 ,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下面四個(gè)結(jié)論: ①數(shù)列可以看作是一個(gè)定義在正整數(shù)集(或它的有限子集{1,2,3……,n})上的函數(shù);
②數(shù)列若用圖象表示,從圖象上看都是一群孤立的點(diǎn);
③數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是無限的;
④數(shù)列通項(xiàng)的表示式是唯一的.
其中正確的是( )
A.①②
B.①②③
C.②③
D.①②③④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,.點(diǎn)D,E,N分別為棱PA,PC,BC的中點(diǎn),M是線段AD的中點(diǎn),PA=AC=4,AB=2.
(1)求證:MN∥平面BDE;
(2)求二面角C-EM-N的正弦值;
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【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,∠ABC=∠BAD=90°,AD=AP=4,AB=BC=2,M為PC的中點(diǎn).
(1)求異面直線AP,BM所成角的余弦值;
(2)點(diǎn)N在線段AD上,且AN=λ,若直線MN與平面PBC所成角的正弦值為 ,求λ的值.
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