Question

已知函數(shù)f（x）=alnx（a＞0），e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）過點A（2，f（2））的切線斜率為2，求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）當x＞0．時，求證：f（x）≥a（1-

1

x

）；
（Ⅲ）在區(qū)間（1，e）上e 

x

a

-e 

1

a

＜0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)法即可證明表達式；
（Ⅲ）利用導數(shù)和函數(shù)最值之間的關系即可求解．

解答： 解：（I） f′(x)=

a

x

，f′(2)=

a

2

=2，a=4．…（2分）
（Ⅱ）令g(x)=a(lnx-1+

1

x

)，g′(x)=a(

1

x

-

1

x2

)．…（4分）
令g'（x）＞0，即a(

1

x

-

1

x2

)＞0，解得x＞1，
所以g（x）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增．
所以g（x）最小值為g（1）=0，所以f(x)≥a(1-

1

x

)．…（6分）
（Ⅲ） 由題意可知e

x

a

＜e

1

a

x，化簡得

x-1

a

＜lnx，a＞

x-1

lnx

．…（8分）
令h（x）=

x-1

lnx

，則h′（x）=

lnx-(x-1)• 1 x

(lnx)2

，
∴h′(x)=

lnx-1+ 1 x

(lnx)2

．…（9分）
由（Ⅱ）知，在x∈（1，e）上，lnx-1+

1

x

＞0，
∴h′（x）＞0，即函數(shù)h（x）在（1，e）上單調(diào)遞增，
∴h（x）＜h（e）=e-1．…（11分），
∴a≥e-1．…（12分）

點評：本題主要考查導數(shù)的綜合應用，考查導數(shù)的幾何意義以及導數(shù)和不等式之間的關系，考查學生的運算和推理能力．