Question

若實(shí)數(shù)a，b，c滿足2a+b=4，且ab+c=5，則abc的最大值是

 

．（代入換元）

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：實(shí)數(shù)a，b，c滿足2a+b=4，只考慮為正數(shù)的情況，利用基本不等式可得4≥2

2ab

，即ab≤2．由于5=c+ab，可得c=5-ab，abc=（5-ab）ab=-(ab-

5

2

)2+

25

4

，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：∵實(shí)數(shù)a，b，c滿足2a+b=4，
只考慮為正數(shù)的情況，
∴4≥2

2ab

，可得ab≤2，當(dāng)且僅當(dāng)2a=b=2時(shí)取等號(hào)．
∵5=c+ab，∴c=5-ab，
∴abc=（5-ab）ab=-（ab）²+5ab=-(ab-

5

2

)2+

25

4

≤-(2-

5

2

)2+

25

4

=6，當(dāng)且僅當(dāng)ab=2（a=1，b=2）時(shí)取等號(hào)．
∴abc的最大值是6．
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了基本不等式的性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了變形能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．