Question

已知F₁(-2,0),F₂(2,0),點P滿足|PF₁|-|PF₂|=2,記點P的軌跡為E.

(1)求軌跡E的方程;

(2)若直線l過點F₂且與軌跡E交于P、Q兩點,①無論直線l繞F₂怎樣轉(zhuǎn)動,在x軸上總存在定點M(m,0),使MP⊥MQ恒成立,求實數(shù)m的值.②過P、Q作直線x=的垂線PA、QB,垂足分別為A、B,是否存在直線l,滿足|PA|+|QB|=|AB|,若存在,求出l的方程;若不存在,請說明理由.

Answer 1

解:(1)由|PF₁|-|PF₂|=2＜|F₁F₂|知,點P的軌跡E是以F₁、F₂為焦點的雙曲線右支.由c=2,2a=2,得b²=3.

軌跡E的方程為x²=1(x≥1).

(2)當直線l的斜率存在時,設直線l的方程為y=k(x-2),P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),將l的方程與雙曲線方程聯(lián)立,消y得(k²-3)x²-4k²x+4k²+3=0.解得k²＞3.

①∵·=(x₁-m)(x₂-m)+y₁y₂=（k²+1)x₁x₂-(2k²+m)(x₁+x₂)+m²+4k²=+m²,

∵MP⊥MQ,

∴·=0,即3(1-m²）+k²(m²-4m-5)=0對任意的k²＞3恒成立.

∴解得m=-1.當m=-1時,MP⊥MQ.

當直線l的斜率不存在時,由P(2,3),Q(2,-3)及M(-1,0)知結論也成立.

綜上,當m=-1時,MP⊥MQ.

②∵a=1,c=2,∴x=是雙曲線的右準線,假設存在直線l滿足條件,且斜率為k.

由雙曲線定義得:|PA|=|PF₂|=|PF₂|,|QB|=|QF₂|，

∴|PQ|=|AB||x₂-x₁|=|y₂-y₁|=|k(x₂-x₁)|.

∴1=|k|.

∴k=±1.又k²＞3,∴此時k不存在.

當直線的斜率不存在時,|PQ|=|AB|,此時不滿足題設.

故不存在滿足題設條件的直線l.