Question

p：若關(guān)于x的方程sinx+cosx=m有實數(shù)解；q：f（x）=log_mx在（0，+∞）為單調(diào)遞增．當(dāng)p、q有且僅有一個為真命題時，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：對于命題p：由關(guān)于x的方程sinx+cosx=m有實數(shù)解，化為m=

2

sin(x+

π

4

)，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出；對于命題q：f（x）=log_mx在（0，+∞）為單調(diào)遞增．可得m＞1．當(dāng)p、q有且僅有一個為真命題時，分為以下兩種情況：當(dāng)p真q假時；當(dāng)p假q真時，解出即可．

解答： 解：對于命題p：若關(guān)于x的方程sinx+cosx=m有實數(shù)解，則m=

2

sin(x+

π

4

)，則m∈[-

2

，

2

]；
對于命題q：f（x）=log_mx在（0，+∞）為單調(diào)遞增．則m＞1．
當(dāng)p、q有且僅有一個為真命題時，分為以下兩種情況：
①當(dāng)p真q假時，

- 2 ≤m≤ 2 0＜m＜1

，解得0＜m＜1；
②當(dāng)p假q真時，

m＞ 2 或m＜- 2 m＞1

，解得m＞

2

．
綜上可知：當(dāng)p真q假時，m∈（0，1）；
②當(dāng)p假q真時，m∈(

2

，+∞)．

點評：本題考查了三角函數(shù)和差化積、正弦函數(shù)的單調(diào)性、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、分類討論、命題的真假判斷等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于中檔題．