Question

8．高斯函數(shù)f（x）=[x]的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)，如[-2.3]=-3，[1.2]=1．設(shè)函數(shù)g（x）=x-f（x），函數(shù)u（x）={sinπx}，則下列說法正確的是（　�。�

• A． 函數(shù)g（x）與u（x）的值域相同
• B． 函數(shù)g（x）與u（x）的最小正周期相同
• C． 函數(shù)g（x）與u（x）的單調(diào)區(qū)間相同
• D． 函數(shù)g（x）與u（x）奇偶性相同

Answer 1

分析 由題意，函數(shù)f（x）=[x]的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)，這個(gè)整數(shù)必須是小于等于x的最大整數(shù)，g（x）=x-f（x），可得0≤g（x）＜1，函數(shù)u（x）={sinπx}={1，0，-1}．可得答案．

解答 解：由題意，函數(shù)f（x）=[x]的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)，這個(gè)整數(shù)必須是小于等于x的最大整數(shù)，函數(shù)f（x）=x-[x]，則f（-x）=-x-[-x]
例如f（3.5）=3.5-[3.5]=3.5-3=0.5，而f（-3.5）=-3.5-[-3.5]=-3.5+4=0.5=f（3.5），則函數(shù)是偶函數(shù)；
g（x+1）=x+1-[x+1]=g（x）=x-[x]；∴g（x+1）=g（x）．是周期T=1的函數(shù)．∴0≤g（x）＜1，
函數(shù)u（x）={sinπx}={1，0，-1}，是奇函數(shù)，
綜上分析，可得函數(shù)g（x）與u（x）的單調(diào)區(qū)間相同，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了對(duì)新定義的充分理解和認(rèn)識(shí)，求解函數(shù)的值域問題，已知“函數(shù)f（x）=[x]的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)”的含義是解題的關(guān)鍵