Question

已知函數f（x）=x²+2xsinα-1，x∈[-

3

2

，

1

2

]，α∈[0，2π]．
（1）當α=

π

6

時，求f（x）的最大值和最小值，并求使函數取得最值的x的值；
（2）求α的取值范圍，使得f（x）在區(qū)間[-

3

2

，

1

2

]上是單調函數．

Answer 1

考點：三角函數的最值

專題：計算題,分類討論,函數的性質及應用,三角函數的圖像與性質

分析：（1）化簡f（x），由二次函數的最值求法，考慮區(qū)間和對稱軸的關系，即可得到最值；
（2）求出對稱軸，討論對稱軸與區(qū)間的關系，運用正弦函數的圖象和性質，函數的單調性即可求得α的取值范圍．

解答： 解：（1）當α=

π

6

時，f（x）=x²+2xsin

π

6

-1
=x²+x-1=（x+

1

2

）²-

5

4

，
∵x∈[-

3

2

，

1

2

]，
∴當x=-

1

2

時，f（x）取到最小值-

5

4

，當x=

1

2

時，f（x）取到最大值-

1

4

；
（2）函數f（x）=x²+2xsinα-1的圖象的對稱軸為直線x=-sinα，
當-sinα≤-

3

2

，即sinα≥

3

2

，即

π

3

≤α≤

2π

3

時，函數f（x）在區(qū)間[-

3

2

，

1

2

]上是增函數；
當-

3

2

＜-sinα＜

1

2

，即-

1

2

＜sinα＜

3

2

，即0≤α＜

π

3

或

2π

3

＜α＜

7π

6

，
或

11π

6

＜α≤2π時，f（x）在區(qū)間[-

3

2

，-sinπ]上為減函數，在[-sinπ，

1

2

]上為增函數；
當-sinα≥

1

2

，即sinα≤-

1

2

，即

7π

6

≤α≤

11π

6

時，函數f（x）在區(qū)間[-

3

2

，

1

2

]上是減函數．
綜上所述：當

π

3

≤α≤

2π

3

或

7π

6

≤α≤

11π

6

時，函數f（x）在區(qū)間[-

3

2

，

1

2

]上是單調函數．

點評：本題考查二次函數在閉區(qū)間上的最值，考查分類討論的思想方法，考查正弦函數的圖象和性質，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．