Question

已知函數(shù)f（x）=x³-6x²+9x-3．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）定義：若函數(shù)h（x）在區(qū)間[s，t]（s＜t）上的取值范圍為[s，t]，則稱區(qū)間[s，t]為函數(shù)h（x）的“域同區(qū)間”．試問函數(shù)f（x）在（3，+∞）上是否存在“域同區(qū)間”？若存在，求出所有符合條件的“域同區(qū)間”；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用函數(shù)的正負(fù)性，來求原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可得函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）據(jù)“域同區(qū)間”的定義得到f（s）=s，f（t）=t，則有f（x）=x有兩個(gè)大于3的相異實(shí)根，然后利用方程根的情況列式求解，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）因?yàn)閒（x）=x³-6x²+9x-3，
所以f'（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3）．
令f'（x）=0，可得x=1或x=3．
則f'（x），f（x）在R上的變化情況為：

x	（-∞，1）	1	（1，3）	3	（3，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增函數(shù)	1	減函數(shù)	-3	增函數(shù)

所以當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）有極大值為1，當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)f（x）有極小值為-3．
（2）假設(shè)函數(shù)f（x）在（3，+∞）上存在“域同區(qū)間”[s，t]（3＜s＜t），
由（1）知函數(shù)f（x）在（3，+∞）上單調(diào)遞增．
所以

f(s)=s f(t)=t.

即

s3-6s2+9s-3=s t3-6t2+9t-3=t.

也就是方程x³-6x²+9x-3=x有兩個(gè)大于3的相異實(shí)根．
設(shè)g（x）=x³-6x²+8x-3（x＞3），
則g'（x）=3x²-12x+8．
令g'（x）=0，解得x1=2-

2

3

3

＜3，x2=2+

2

3

3

＞3．
當(dāng)3＜x＜x₂時(shí)，g'（x）＜0，當(dāng)x＞x₂時(shí)，g'（x）＞0，
所以函數(shù)g（x）在區(qū)間（3，x₂）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（x₂，+∞）上單調(diào)遞增．
因?yàn)間（3）=-6＜0，g（x₂）＜g（3）＜0，g（5）=12＞0，
所以函數(shù)g（x）在區(qū)間（3，+∞）上只有一個(gè)零點(diǎn)．
這與方程x³-6x²+9x-3=x有兩個(gè)大于3的相異實(shí)根相矛盾，所以假設(shè)不成立．
所以函數(shù)f（x）在（3，+∞）上不存在“域同區(qū)間”．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的零點(diǎn)等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、分類與討論的數(shù)學(xué)思想方法，以及運(yùn)算求解能力、抽象概括能力與創(chuàng)新意識(shí)．