Question

已知函數(shù)f（x）=

mx+n

x2+2

（m≠0）是定義在R上的奇函數(shù)．
（1）若m＞0，求f（x）在（-m，m）上遞增的充要條件；
（2）若f（x）≤sinθcosθ+cos²θ+

2

-

1

2

對任意的實數(shù)θ和正實數(shù)x恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，由f′（x）＞0解得即可；
（2）設(shè)g（x）=sinθc0sθ+cos²θ+

2

-

1

2

，由題意得只需f（x）≤g（x）_min恒成立，利用三角變換求得g（x）的最小值，列出不等式解得即可．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=

mx+n

x2+2

（m≠0）是定義在R上的奇函數(shù)．
∴f（0）=0，即

n

2

=0，∴n=0，
∴f（x）=

mx

x2+2

，顯然f（-x）=-f（x）成立，故n=0時f（x）為R上的奇函數(shù)，
∴f′（x）=

m(x2+2)-mx•2x

(x2+2)2

=

-m(x2-2)

(x2+2)2

，
∵m＞0，∴-m＜0，
由f′（x）＞0可得x²-2＜0，解得-

2

＜x＜

2

，
即f（x）的遞增區(qū)間是（-

2

，

2

），由題意只需（-m，m）⊆（-

2

，

2

），
∴0＜m≤

2

，
∴f（x）在（-m，m）上遞增的充要條件是0＜m≤

2

．
（2）設(shè)g（x）=sinθc0sθ+cos²θ+

2

-

1

2

，
∵f（x）≤sinθcosθ+cos²θ+

2

-

1

2

對任意的實數(shù)θ和正實數(shù)x恒成立，
∴f（x）≤g（x）_min恒成立，
∵g（x）=sinθc0sθ+cos²θ+

2

-

1

2

=

1

2

sin2θ+

1+cos2θ

2

+

2

-

1

2

=

1

2

sin2θ+

1

2

cos2θ+

2

=

2

2

sin（2θ+

π

4

）+

2

，
∴g（x）min=-

2

2

+

2

=

2

2

，
∴只需f（x）≤

2

2

，即

mx

x2+2

≤

2

2

，
∵x＞0，∴只需

m

x+ 2 x

≤

2

2

，即m≤

2

2

（x+

2

x

）恒成立，
而

2

2

（x+

2

x

）≥

2

2

×2

2

=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=

2

時取得最小值2，
∴m≤2，又m≠0，
∴實數(shù)m的取值范圍是（-∞，0）∪（0，2]．

點(diǎn)評：本題是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、三角相結(jié)合的綜合性問題，主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及三角函數(shù)求最值等知識，考查學(xué)生的等價轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用能力及運(yùn)算求解能力．