(1)函數(shù)f(x)，，若對于任意實(shí)數(shù)a，b都有f(a＋b)=f(a)＋f(b)．求證：f(x)為奇函數(shù)．

(2)函數(shù)f(x)，，若對于任意實(shí)數(shù)、都有．求證f(x)為偶函數(shù)．

(3)設(shè)函數(shù)f(x)定義在上．證明f(x)＋f(－x)是偶函數(shù)，f(x)－f(－x)是奇函數(shù)．

答案：略
解析：

證明　(1)設(shè)a=0，則f(b)=f(0)＋f(b)f(0)=0．

又設(shè)a=－x，b=x，則f(0)=f(－x)＋f(x)，

f(－x)=－f(x)，f(x)是奇函數(shù)．

(2)令，，得f(x)＋f(－x)=2f(0)f(x)，

令，得f(x)＋f(x)=2f(0)f(x)．

由①②得f(－x)=f(x)．

f(x)是偶函數(shù)．

(3)由于對任意，也必有．可見，f(－x)的定義域也是．

若設(shè)F(x)=f(x)＋f(－x)，G(x)=f(x)－f(－x)．

則F(x)與G(x)的定義域也是，顯然是關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間．

而且F(－x)=f(－x)＋f[－(－x)]=f(x)＋f(－x)=F(x)

G(－x)=f(－x)－f[－(－x)]=f(－x)－f(x)

　　　=[f(x)－f(－x)]=－G(x)．

所以F(x)為偶函數(shù)，而G(x)為奇函數(shù)．

問題(1)、(2)采用了賦值法來尋找f(x)與f(－x)的關(guān)系，這是抽象函數(shù)問題中經(jīng)常采用的方法，問題(3)實(shí)際是對性質(zhì)(3)的證明．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a＞b＞0,a≠1,b≠1,函數(shù)f(x)=.

(1)試判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論;

(2)求證:.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

有以下三個(gè)命題：

(1)函數(shù)f(x)=+lg(5-2x)的定義域?yàn)閇1,]

(2)函數(shù)y=f(a+x)與函數(shù)y=f(a-x)的圖像關(guān)于直線x=a對稱．

(3)把函數(shù)y=f(2x+1)的圖像向右平移一個(gè)單位，再關(guān)于y軸對稱后得到函數(shù)數(shù)y=f(-2x-1)．

其中正確命題的序號為____________(把你認(rèn)為正確的命題序號都填上)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

(1)函數(shù)f(x)=3sin(+)(k≠0)的圖象有一條對稱軸為x=,求k;

（2）求函數(shù)y=2sin(3x+)的對稱軸與對稱中心.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年山東省高三數(shù)學(xué)10月單元練習(xí)（函數(shù)二） 題型：填空題

若對于任意a[－1,1], 函數(shù)f(x) = x+ (a－4)x + 4－2a的值恒大于零，則x的取值范圍是                           .

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年高考試題（四川卷）解析版（理） 題型：選擇題

 [番茄花園1] 函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋1的圖像關(guān)于直線x＝1對稱的充要條件是

（A）        （B）         （C）          （D）

 

 [番茄花園1]4.

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