Question

7．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=4，a₂=2，a_n+2=$\frac{3+（-1）^{n}}{2}$a_n+2[1-（-1）ⁿ]，n∈N^*，k∈N^*．
（Ⅰ）求a₃，a₄，并直接寫出a_n；
（Ⅱ）設S_k=a₁+a₃+…+a_2k-1，T_k=a₂+a₄+…+a_2k，分別求S_k，T_k關于k的表達式；
（Ⅲ）設W_k=$\frac{{2{S_k}}}{{2+{T_k}}}$，求使W_k＞2的所有k的值，并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)數(shù)列的遞推關系即可求a₃，a₄，并直接寫出a_n；
（Ⅱ）根據(jù)數(shù)列求和的關系進行求解即可求S_k，T_k關于k的表達式；
（Ⅲ）求出W_k的表達式，解不等式即可．

解答 解：（I）因為a₁=4，a₂=2，所以a₃=a₁+4=8，..…（1分）a₄=2a₂=4，..…（2分）
${a_n}=\left\{\begin{array}{l}2（n+1），n=2k-1（k∈{N^*}）\\{2^{\frac{n}{2}}}，n=2k（k∈{N^*}）\end{array}\right.$…（4分）
（II）當n=2k-1（k∈N^*）時，a_2k+1=a_2k-1+4，
所以{a_2k-1}是以4為首項，4為公差的等差數(shù)列，則a_2k-1=4k，..…（6分）
當n=2k（k∈N^*）時，a_2k+2=2a_2k，
故{a_2k}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，則${a_{2k}}={2^k}$，..…（8分）
S_k=a₁+a₃+…+a_2k-1=4+8+…+4k=2k（k+1），
${T_k}={a_2}+{a_4}+…+{a_{2k}}=2+{2^2}+…+{2^k}={2^{k+1}}-2$，..…（9分）
（III）${W_k}=\frac{{2{S_k}}}{{2+{T_k}}}=\frac{4k（k+1）}{{{2^{k+1}}}}=\frac{k（k+1）}{{{2^{k-1}}}}$，
于是${W_1}=2，{W_2}=3，{W_3}=3，{W_4}=\frac{5}{2}，{W_5}=\frac{15}{8}$，…（10分）
下面證明：當k≥5時，W_k＜2．
事實上，當k≥5時，${W_{k+1}}-{W_k}=\frac{（k+2）（k+1）}{2^k}-$$\frac{k（k+1）}{{{2^{k-1}}}}=\frac{（k+1）（2-k）}{2^k}＜0$，
即W_k+1＜W_k，又W₅＜2，
所以k≥5時，W_k＜2…（12分）
故滿足W_k＞2的k的值為2，3，4

點評 本題主要考查數(shù)列遞推公式的應用，考查學生的運算和推理能力，綜合性較強，難度較大．