Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，且3a_n+1+2S_n=3
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）對(duì)任意正整數(shù)n，是否存在k∈R，使得S_n≥k恒成立？若存在，求是實(shí)數(shù)k的最大值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）在數(shù)列遞推式中取n=n-1得另一遞推式，作差后得到數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列并求得公比，然后直接代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；
（2）求出等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，由單調(diào)性求出前n項(xiàng)和的最小值，則可求得使S_n≥k恒成立的k的最大值．

解答： 解：（1）由3a_n+1+2S_n=3  ①
得，當(dāng)n≥2時(shí)，3a_n+2S_n-1=3  ②
由①-②得3a_n+1-3a_n+2a_n=0，
∴an+1=

1

3

an （n≥2）．
又a₁=1，3a₂+2a₁=3，得a2=

1

3

，
∴a2=

1

3

a1．
故數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公比q=

1

3

的等比數(shù)列，
∴an=a1qn-1=(

1

3

)n-1；
（2）假設(shè)存在滿足題設(shè)條件的實(shí)數(shù)k，由（1）知，
Sn=

a1(1-qn)

1-q

=

1-( 1 3 )n

1- 1 3

=

3

2

[1-(

1

3

)n]．
由題意知，對(duì)任意正整數(shù)n恒有k≤

3

2

[1-(

1

3

)n]，
又?jǐn)?shù)列{1-(

1

3

)n}單調(diào)遞增，
∴當(dāng)n=1時(shí)，數(shù)列中的最小項(xiàng)為

2

3

，
則必有k≤1，
即實(shí)數(shù)k最大值為1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，訓(xùn)練了利用函數(shù)單調(diào)性求數(shù)列和的最值，是中檔題．