Question

已知F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C的左右焦點(diǎn)，A是橢圓C短軸的一個(gè)頂點(diǎn)，B是直線AF₂與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)，若∠F₁AF₂=60°，△AF₁B的面積為40

3

，則橢圓C的方程為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)題意，設(shè)出橢圓的方程，直線AB的方程，兩方程聯(lián)立，求出A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，由∴△AF₁B的面積S，求出c的值，從而得橢圓C的方程．

解答： 解：根據(jù)題意，設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，
結(jié)合題意，畫出圖形，如圖所示；
∵∠F₁AF₂=60°，
∴a：b：c=2：

3

：1；
∴橢圓的方程可化為

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，
∴直線AB的方程為y=-

3

（x-c），
∴

y=- 3 (x-c) x2 4c2 + y2 3c2 =1

，
解得

x1=0 y1= 3 c

，

x2= 8 5 c y2=- 3 3 5 c

；
∴△AF₁B的面積S=

1

2

|F₁F₂|•（|y₁|+|y₂|）=

1

2

×2c×（

3

c+

3 3

5

c）=40

3

，
解得c=5；
∴橢圓C的方程為

x2

100

+

y2

75

=1．
故答案為：

x2

100

+

y2

75

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓錐曲線的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)題意，應(yīng)用待定系數(shù)法，結(jié)合直線被圓錐曲線所截得的弦長(zhǎng)，求出圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程來，是中檔題．