Question

點(diǎn)P到點(diǎn)A（1，0）和直線x=-1的距離相等，且點(diǎn)P到直線y=x的距離等于

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，這樣的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為

3個(gè)

．

Answer 1

分析：P的軌跡是以F為焦點(diǎn)的拋物線，并且軌跡方程為y²=4x．利用直線與平穩(wěn)性的位置關(guān)系求出其切線方程為y=x+1，得到兩條平行直線y=x，y=x+1之間的距離為：

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．又根據(jù)題意可得：拋物線與直線y=x相交，進(jìn)而得到點(diǎn)P到直線y=x的距離等于

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的點(diǎn)有3個(gè)．

解答：解：因?yàn)辄c(diǎn)P到點(diǎn)A（1，0）和直線x=-1的距離相等，
所以由拋物線的定義知：P的軌跡是以F為焦點(diǎn)的拋物線，并且p=1，
所以點(diǎn)P的方程為y²=4x．
設(shè)直線y=x+b與拋物線y²=4x相切，則聯(lián)立直線與拋物線的方程可得：x²+2（b-2）x+b²=0，
所以△=4（b-2）²-4b²=0，解得：b=1．
所以切線方程為y=x+1，所以兩條平行直線y=x，y=x+1之間的距離為：

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．
又根據(jù)題意可得：拋物線與直線y=x相交，
所以P到直線y=x的距離等于

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的點(diǎn)有3個(gè)．
故答案為3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線與拋物線的位置關(guān)系，并且也考查了兩條平行線之間的距離公式，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．