Question

【題目】已知點(diǎn)在橢圓： 上， 是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）橢圓C上不與點(diǎn)重合的兩點(diǎn)， 關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，直線， 分別交軸于， 兩點(diǎn)．求證：以為直徑的圓被直線截得的弦長(zhǎng)是定值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）見(jiàn)解析．

【解析】試題分析：（Ⅰ）依題意，得到，利用定義得到，即可求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)， ，根據(jù)直線方程，求解的坐標(biāo)，可得，利用 ，求得的值，即可得到弦長(zhǎng)為定值．

試題解析：

（Ⅰ）依題意，橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為，且．

因?yàn)?/span>，

所以， ，

所以橢圓的方程為．

（Ⅱ）證明：由題意可知， 兩點(diǎn)與點(diǎn)不重合．

因?yàn)?/span>， 兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

所以設(shè)， ， ．

設(shè)以為直徑的圓與直線交于兩點(diǎn)，

所以．

直線： ．

當(dāng)時(shí)， ，所以．

直線： ．

當(dāng)時(shí)， ，所以．

所以， ，

因?yàn)?/span>，所以，

所以．

因?yàn)?/span>，即， ，

所以，所以．

所以， ， 所以．

所以以為直徑的圓被直線截得的弦長(zhǎng)是定值．