【題目】如圖,已知四棱錐P﹣ABCD,底面ABCD為菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E、F分別是BC、PC的中點.
(1)判定AE與PD是否垂直,并說明理由.
(2)設(shè)AB=2,若H為PD上的動點,若△AHE面積的最小值為 , 求四棱錐P﹣ABCD的體積.
【答案】解:(1)AE⊥PD
因為四邊形ABCD是菱形,∠ABC=60°,
∴△ABC為等邊三角形.
因為E是BC的中點,
∴AE⊥BC,結(jié)合BC∥AD,得AE⊥AD
∵PA⊥平面ABCD,AE平面ABCD,
∴PA⊥AE
PA∩AD=A,且PA平面PAD,AD平面PAD
∴AE⊥平面PAD,又PD平面PAD
∴AE⊥PD
(2)由(1),EA⊥平面PAD,
∴EA⊥AH,即△AEH為直角三角形,
Rt△EAH中,AE=,
當(dāng)AH最短時,即AH⊥PD時,△AHE面積的最小
此時, .
又AD=2,所以∠ADH=45°,所以PA=2.
【解析】(1)四邊形ABCD是一條對角線AC等于邊長的菱形,從而△ABC為正三角形,BC邊上的中線AE也是高線,聯(lián)系BC∥AD得到AE⊥AD,再利用AD是PD在平面ABCD內(nèi)的射影,從而得到AE與PD垂直.
(2)先根據(jù)AE與PD、PA都垂直,可得到AE⊥平面PAD,從而AE⊥平面AHE,然后求出AE= , 得到直角三角形AEH的面積為AEAH=AH,AH最短時△AHE面積最小.結(jié)合已知條件得到AH= , 最后轉(zhuǎn)到Rt△PAD中求得PA=2,利用棱錐的體積公式得出四棱錐P﹣ABCD的體積.
【考點精析】掌握直線與平面垂直的性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道垂直于同一個平面的兩條直線平行.
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【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為菱形,∠DAB=60°.側(cè)面PAD為正三角形,且平面PAD⊥平面ABCD,則下列說法錯誤的是( 。
A.在棱AD上存在點M,使AD⊥平面PMB
B.異面直線AD與PB所成的角為90°
C.二面角P﹣BC﹣A的大小為45°
D.BD⊥平面PAC
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【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PD⊥平面ABCD,四邊形ABCD是菱形,AC=6,BD=8,E是PB上任意一點,△AEC面積的最小值是3.
(Ⅰ)求證:AC⊥DE;
(Ⅱ)求四棱錐P﹣ABCD的體積.
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【題目】如圖是將一正方體貨物沿坡面AB裝進汽車貨廂的平面示意圖.已知長方體貨廂的高度BC為 米,tanA= ,現(xiàn)把圖中的貨物繼續(xù)往前平移,當(dāng)貨物頂點D與C重合時,仍可把貨物放平裝進貨廂,求BD的長.(結(jié)果保留根號)
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【題目】下列命題錯誤的是 ( )
A. 如果平面平面,那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面
B. 如果平面不垂直平面,那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面
C. 如果平面平面,平面平面,且,那么
D. 如果平面平面,那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面
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【題目】已知圓C:x2+y2-2x+4y-4=0,
(1)求圓C關(guān)于直線對稱的圓的方程;
(2)問是否存在斜率為1的直線l,使l被圓C截得弦AB,且以AB為直徑的圓經(jīng)過點?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.
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