Question

3．已知圓C：x²+y²-4x-14y+45=0及點(diǎn)Q（-2，3）．
（1）若點(diǎn)P（m，m+1）在圓C上，求直線PQ的斜率；
（2）若M是圓C上任一點(diǎn)，求|MQ|的最大值和最小值；
（3）若點(diǎn)N（a，b）滿足關(guān)系式a²+b²-4a-14b+45=0，求$\frac{b-3}{a+3}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)P（m，m+1）在圓上，可得m的方程，解方程可得；
（2）由（1）配方可得圓C：（x-2）²+（y-7）²=8，可得$r=2\sqrt{2}$，$|{CQ}|=4\sqrt{2}$，結(jié)合圖象易得最值；
（3）設(shè)$E（{-3，3}），k=\frac{b-3}{a+3}$，當(dāng)過點(diǎn)E的直線與圓相切時(shí)，k取最大值，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可得．

解答 解：（1）∵點(diǎn)P（m，m+1）在圓上，
∴m²+（m+1）²-4m-14（m+1）+45=0
解得m=4，∴P（4，5），
∴k_PQ=$\frac{3-5}{-2-4}$=$\frac{1}{3}$；
（2）由（1）配方可得圓C：（x-2）²+（y-7）²=8，
∴$r=2\sqrt{2}$，$|{CQ}|=4\sqrt{2}$，∴${|{MQ}|_{max}}=|{CQ}|+r=6\sqrt{2}$，
${|{MQ}|_{min}}=|{CQ}|-r=2\sqrt{2}$；
（3）設(shè)$E（{-3，3}），k=\frac{b-3}{a+3}$，
如圖，當(dāng)過點(diǎn)E的直線與圓相切時(shí)，k取最大值．
∵切線方程為y-3=k（x+3），即kx-y+3k+3=0
∴$d=\frac{{|{5k-4}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=2\sqrt{2}$，∴$k=\frac{{20±2\sqrt{66}}}{17}$，
∴$\frac{b-3}{a+3}$的最大值為$\frac{{20+2\sqrt{66}}}{17}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和圓的位置關(guān)系，數(shù)形結(jié)合是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．