Question

已知數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足條件：a₁=3，a₂=2，b₁=b₂=2，b₃=3，且數(shù)列{a_n-1}為等比數(shù)列，數(shù)列{b_n+1-b_n}為等差數(shù)列，
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）當n≥3時，求證：

1

b3-2

+

1

b4-2

+…+

1

bn-2

＜2．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用a₁=3，a₂=2，數(shù)列{a_n-1}為等比數(shù)列，求數(shù)列{a_n}的通項公式、b₁=b₂=2，b₃=3，數(shù)列{b_n+1-b_n}為等差數(shù)列，求{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）n≥3時，

1

bn-2

=

2

n(n-1)

=2（

1

n-1

-

1

n

），再相加，即可證明結(jié)論

解答： （Ⅰ）解：∵a₁=3，a₂=2，數(shù)列{a_n-1}為等比數(shù)列，
∴a_n-1=2•(

1

2

)n-1=2^2-n，
∴a_n=2^2-n+1，
∵b₁=b₂=2，b₃=3，數(shù)列{b_n+1-b_n}為等差數(shù)列，
∴b_n+1-b_n=n-1，
∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+…+（b_n-b_n-1）=

n2-n+4

2

；
（Ⅱ）證明：n≥3時，

1

bn-2

=

2

n(n-1)

=2（

1

n-1

-

1

n

），
∴

1

b3-2

+

1

b4-2

+…+

1

bn-2

=2（

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

）=2（

1

2

-

1

n

）≤

1

3

＜2．

點評：本題考查數(shù)列的通項與求和，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．