Question

已知函數(shù)f（x）=（x-a）lnx，a∈R．若a=0，對于任意的x∈（0，1）．
（1）求證：-

1

e

≤f（x）＜2．
（2）若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最值，即可得出結(jié)論；
（2）由題意可得，即證f′（x）=-alnx+

x-a

x

=

x-a(xlnx+1)

x

=0，即x-a（xlnx+1）=0，即a=

x

xlnx+1

在x∈（0，1）有解即可，令g（x）=

x

xlnx+1

，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)g（x）的最值，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f（x）=（x-a）lnx，若a=0，則f（x）=xlnx，
∴f′（x）=lnx+1，
∴x∈（0，

1

e

）時，f′（x）＜0，x∈（

1

e

，1）時，f′（x）＞0，
∴當(dāng)x=

1

e

時，f（x）_min=f（

1

e

）=-

1

e

，
又f（1）=0，∴-

1

e

≤f（x）＜0．
（2）∵f（x）=（x-a）lnx，
∴f′（x）=-alnx+

x-a

x

=

x-a(xlnx+1)

x

=0，
∴x-a（xlnx+1）=0，即a=

x

xlnx+1

，x∈（0，1），
令g（x）=

x

xlnx+1

，則g′（x）=

1-x

(xlnx+1)2

＞0，
∴g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，
∴0＜g（x）＜1，
又∵f（x）在其定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，
∴0＜a＜1．

點(diǎn)評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等知識，考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力及轉(zhuǎn)化劃歸思想的運(yùn)用能力，屬于難題．