Question

18、某城市有甲、乙、丙3個(gè)旅游景點(diǎn)，一位客人游覽這3個(gè)景點(diǎn)的概率分別是0.4，0.5，0.6，且客人是否游覽哪個(gè)景點(diǎn)互不影響，設(shè)ξ表示客人離開該城市時(shí)游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒(méi)游覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值。

（Ⅰ）求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（Ⅱ）記“函數(shù)f(x)＝x²－3ξx＋1在區(qū)間[2，＋∞）上單調(diào)遞增”為事件A，求事件A的概率。

Answer 1

18．解：（I）分別記“客人游覽甲景點(diǎn)”，“客人游覽乙景點(diǎn)”，“客人游覽丙景點(diǎn)”

       為事件A₁，A₂，A₃. 由已知A₁，A₂，A₃相互獨(dú)立，P（A₁）=0.4，P（A₂）=0.5，

       P（A₃）=0.6.

       客人游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為0，1，2，3. 相應(yīng)地，客人沒(méi)有游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為3，2，1，0，所以的可能取值為1，3.

       P（=3）=P（A₁·A₂·A₃）+ P（）

= P（A₁）P（A₂）P（A₃）+P

=2×0.4×0.5×0.6=0.24，

       P（=1）=1－0.24=0.76.

       所以的分布列為

E=1×0.76+3×0.24=1.48.

（Ⅱ）解法一  因?yàn)?SUB>

所以函數(shù)上單調(diào)遞增，

要使上單調(diào)遞增，當(dāng)且僅當(dāng)

從而

解法二　的可能取值為1,3

當(dāng)＝1時(shí)，函數(shù)f(x)=x²-3x+1在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增，

當(dāng)=3時(shí)，函數(shù)f(x)=x²-9x+1在區(qū)讓[2，+∞）上不單調(diào)遞增。

所以P（A）=P（=1）=0.76