我們把離心率等于黃金比例
5
-1
2
的橢圓稱為“優(yōu)美橢圓”．設(shè)
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)是優(yōu)美橢圓，F(xiàn)、A分別是它的左焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)，B是它的短軸的一個(gè)端點(diǎn)，則∠ABF等于（　　）
A、60°B、75°
C、120°D、90°
分析：由于
c
a
=
5
-1
2
所以 2c2=(3-
5
)a2驗(yàn)證|FA|2=|FB|2+|AB|2成立所以所以∠FBA等于 90°．
解答：解：∵
c
a
=
5
-1
2

∴2c2=(3-
5
)a2
在三角形FAB中有b2+c2=a2
|FA|=a+c，|FB|=a，|AB|=
a2+b2

∴|FA|2=（a+c）2=a2+c2+2ac，|FB|2+|AB|2=2a2+b2=3a2-c2
∴|FA|2=|FB|2+|AB|2=
3+
5
2
a2
∴|FA|2=|FB|2+|AB|2
所以∠FBA等于 90°．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：解決此類問(wèn)題關(guān)鍵是熟練掌握橢圓的幾何性質(zhì)，以及利用邊長(zhǎng)關(guān)系判斷三角形的形狀的問(wèn)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

我們把離心率等于黃金比的橢圓稱為“優(yōu)美橢圓”.設(shè)=1(a＞b＞0)是優(yōu)美橢圓,F、A分別是它的左焦點(diǎn)和右頂點(diǎn),B是它的短軸的一個(gè)端點(diǎn),則∠ABF等于___________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

我們把離心率等于黃金比例
5
-1
2
的橢圓稱為“優(yōu)美橢圓”．設(shè)
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)是優(yōu)美橢圓，F(xiàn)、A分別是它的左焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)，B是它的短軸的一個(gè)端點(diǎn)，則∠ABF等于（　　）
A．60°B．75°C．120°D．90°

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2009-2010學(xué)年河南省鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二（上）第二次月考數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：選擇題

我們把離心率等于黃金比例的橢圓稱為“優(yōu)美橢圓”．設(shè)是優(yōu)美橢圓，F(xiàn)、A分別是它的左焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)，B是它的短軸的一個(gè)端點(diǎn)，則∠ABF等于（ ）
A．60°
B．75°
C．120°
D．90°

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我們把離心率等于黃金比例的橢圓稱為“優(yōu)美橢圓”．設(shè)是優(yōu)美橢圓，F(xiàn)、A分別是它的左焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)，B是它的短軸的一個(gè)端點(diǎn)，則∠ABF等于（ ）
A．60°
B．75°
C．120°
D．90°

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