Question

如圖，在棱長為a的正方體 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，AC 與BD相交于點(diǎn)O．
（Ⅰ）求直線 A₁B 與平面ACC₁A₁所成的角； 
（Ⅱ）求二面角 A₁-BD-A 的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）首先根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，進(jìn)一步求出線線垂直，AA₁⊥平面ABCD，AA₁⊥BD，AC⊥BD然后求出BD⊥平面A₁ACC₁，進(jìn)一步求出直線 A₁B 與平面ACC₁A₁所成的角為∠BA₁O，通過運(yùn)算求出夾角的大�。�
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)論，BD⊥平面A₁ACC₁，進(jìn)一步求出：AO⊥BD，A₁O⊥BD，二面角 A₁-BD-A 的平面角為∠A₁OA，然后通過解直角三角形二面角 A₁-BD-A 平面角的正切值．

解答： 解：（Ⅰ）連結(jié)A₁O
在棱長為a的正方體 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，AC 與BD相交于點(diǎn)O．
∵AA₁⊥平面ABCD，
∴AA₁⊥BD，AC⊥BD
BD⊥平面A₁ACC₁
直線 A₁B 與平面ACC₁A₁所成的角為∠BA₁O
在Rt△A₁OB中，
由于正方體的棱長為a
進(jìn)一步求出：A1B=

2

a，BO=

2

2

a
sin∠BA₁O=

2 2 a

2 a

=

1

2

所以：∠BA₁O=30°
則：直線 A₁B 與平面ACC₁A₁所成的角為30°
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：BD⊥平面A₁ACC₁
∴AO⊥BD，A₁O⊥BD
二面角 A₁-BD-A 的平面角為∠A₁OA
由題中的條件求出：AO=

2

2

a，AA₁=a
tan∠A₁OA=

a

2 2 a

=

2

所以二面角 A₁-BD-A 的正切值為

2

．

點(diǎn)評：本題考查的知識要點(diǎn)：線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，線面夾角的平面角的求法，二面角的平面角的求法，特殊角的三角函數(shù)值，及相關(guān)的運(yùn)算問題．