【題目】已知x1是函數(shù)f(x)ax3x2(a1)x5的一個(gè)極值點(diǎn).

(1)求函數(shù)f(x)的解析式;

(2)若曲線yf(x)與直線y2xm有三個(gè)交點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【答案】1f(x)的解析式為f(x)x3x22x5; 2m的取值范圍為

【解析】試題分析:(I)利用三次函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為零,即可解得a的值,進(jìn)而確定函數(shù)的解析式;(II)將兩曲線有三個(gè)交點(diǎn)問題,轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)=f(x)﹣(2x+m)有三個(gè)零點(diǎn)問題,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g(x)的單調(diào)性和極值,找到問題的充要條件,列不等式即可解得m的范圍

試題解析:

解:(1)依題意f′(x)=ax2-3xa+1,

f′(1)=0a=1,

函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=x3x2+2x+5.

(2)曲線yf(x)與直線y=2xm有三個(gè)交點(diǎn),

x3x2+2x+5-2xm=0有三個(gè)實(shí)數(shù)根,

g(x)=x3x2+2x+5-2xmx3x2+5-m,g(x)有三個(gè)零點(diǎn).

g′(x)=x2-3x=0x=0x=3.

g′(x)>0x<0x>3;令g′(x)<00<x<3.

函數(shù)g(x)(-∞,0)上為增函數(shù),(0,3)上為減函數(shù)(3,+∞)上為增函數(shù).

函數(shù)在x=0處取得極大值x=3處取得極小值.

要使g(x)有三個(gè)零點(diǎn),只需 解得 <m<5.

實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

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