【題目】筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具,明朝科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理(如圖1).因其經(jīng)濟又環(huán)保,至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用(如圖2).假定在水流量穩(wěn)定的情況下,筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動.因筒車上盛水筒的運動具有周期性,可以考慮利用三角函數(shù)模型刻畫盛水筒(視為質(zhì)點)的運動規(guī)律.將筒車抽象為一個幾何圖形,建立直角坐標系(如圖3).設(shè)經(jīng)過t秒后,筒車上的某個盛水筒從點P0運動到點P.由筒車的工作原理可知,這個盛水筒距離水面的高度H(單位: ),由以下量所決定:筒車轉(zhuǎn)輪的中心O到水面的距離h,筒車的半徑r,筒車轉(zhuǎn)動的角速度ω(單位: ),盛水筒的初始位置P0以及所經(jīng)過的時間t(單位: ).已知r=3,h=2,筒車每分鐘轉(zhuǎn)動(按逆時針方向)1.5圈, P0距離水面的高度為3.5,若盛水筒M從點P0開始計算時間,則至少需要經(jīng)過_______就可到達最高點;若將點距離水面的高度表示為時間的函數(shù),則此函數(shù)表達式為_________

1 2 3

【答案】

【解析】

由題設(shè)條件求出初始位置非負半軸的夾角,當第一次到達最高點時,求出所轉(zhuǎn)過的弧度,根據(jù)筒車每秒鐘轉(zhuǎn)動的弧度,求出第一次到達最高點的時間,即可得出第一空;

由三角函數(shù)的定義得出動點的縱坐標,利用縱坐標求出點距離水面的高度,即可得出第二空.

因為點P0距離水面的高度為3.5,則開始時非負半軸的夾角為

由題意可知,筒車每分鐘轉(zhuǎn)動(按逆時針方向),即筒車每秒鐘轉(zhuǎn)動

第一次到達最高點時,所轉(zhuǎn)過的弧度為,則所用時間為

即若盛水筒M從點P0開始計算時間,則至少需要經(jīng)過就可到達最高點;

設(shè)非負半軸的夾角為,則

由三角函數(shù)的定義可知點的縱坐標為,

則點距離水面的高度的函數(shù)為,

故答案為:

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