Question

設(shè)函數(shù)f(x)＝，x≠0.

(1)判斷函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上的單調(diào)性；

(2)證明：對任意正數(shù)a，存在正數(shù)x，使不等式|f(x)－1|＜a成立．

Answer 1

解析：(1)f′(x)＝＝，

令h(x)＝(x－1)e^x＋1，則h′(x)＝e^x＋e^x(x－1)＝xe^x，

當(dāng)x＞0時，h′(x)＝xe^x＞0，∴h(x)是(0，＋∞)上的增函數(shù)，

所以h(x)＞h(0)＝0，

故f′(x)＝＞0，即函數(shù)f(x)是(0，＋∞)上的增函數(shù)．

(2)|f(x)－1|＝，

當(dāng)x＞0時，令g(x)＝e^x－x－1，則g′(x)＝e^x－1＞0，

故g(x)＞g(0)＝0，所以|f(x)－1|＝，

原不等式化為＜a，即e^x－(1＋a)x－1＜0，

令φ(x)＝e^x－(1＋a)x－1，則φ′(x)＝e^x－(1＋a)，

由φ′(x)＝0得：e^x＝1＋a，解得x＝ln(1＋a)，

當(dāng)0＜x＜ln(1＋a)時，φ′(x)＜0；

當(dāng)x＞ln(1＋a)時，φ′(x)＞0.

故當(dāng)x＝ln(1＋a)時，φ(x)取得最小值φ(ln(1＋a))＝a－(1＋a)ln(1＋a)，

令s(a)＝－ln(1＋a)，a＞0則s′(a)＝＜0.故s(a)＜s(0)＝0，即φ(ln(1＋a))＝a－(1＋a)ln(1＋a)＜0.