Question

14．我們把形如y=f（x）^φ（x）的函數(shù)稱為冪指函數(shù)，冪指函數(shù)在求導(dǎo)時，可以利用對數(shù)法：在函數(shù)解析式兩邊取對數(shù)得lny=lnf（x）^φ（x）=φ（x）lnf（x），兩邊對x求導(dǎo)數(shù)，得$\frac{y′}{y}$=φ′（x）lnf（x）+φ（x）$\frac{f′（x）}{f（x）}$，于是y′=f（x）^φ（x）[φ′（x）lnf（x）+φ（x）$\frac{f′（x）}{f（x）}$]，運(yùn)用此方法可以求得函數(shù)y=x^x（x＞0）在（1，1）處的切線方程是y=x．

Answer 1

分析 由新定義，可得由f（x）=x，g（x）=x，所以f′（x）=1，g′（x）=1，所以y′=（1•lnx+x•$\frac{1}{x}$）x^x，令x=1即可得到切線的斜率，再由點(diǎn)斜式方程，可得切線方程．

解答 解：由f（x）=x，g（x）=x，
所以f′（x）=1，g′（x）=1，所以y′=（1•lnx+x•$\frac{1}{x}$）x^x，
所以y′|_x=1=[（1•lnx+x•$\frac{1}{x}$）x^x]_x=1=1，
即：函數(shù)y=x^x（x＞0）在（1，1）處的切線的斜率為1，
故切線方程為：y-1=x-1，即y=x，
故答案為：y=x．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程，同時考查對數(shù)法求導(dǎo)數(shù)的方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．