Question

直線l：x-ky+2

2

=0與圓O：x²+y²=4相交于A，B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，△ABO的面積為S．
（1）試將S表示為k的函數(shù)S（k），并求定義域；
（2）求S的最大值，并求此時(shí)直線l的方程．

Answer 1

分析：①根據(jù)點(diǎn)到線的距離公式：d=

Ax+By+c

A2+B2

能夠算出圓心O到直線l的距離，再表示出弦長(zhǎng)|AB|的長(zhǎng)度，即，|AB|=2

4-d2

從而三角形面積公式表示出△ABO的面積為S．
②對(duì)（1）中所求的△ABO面積表達(dá)式進(jìn)行分離常數(shù)處理，即，s(k)=4

2

k2-1 (1+k2)2

=4

2

-2 (1+k2)2 + 1 1+k2

再根據(jù)配方法求出s的最大值及此時(shí)對(duì)應(yīng)的k的值，最后求出直線方程．

解答：解：（1）圓心O到直線l的距離d=

2 2

1+k2

，
∵l與圓O相交，
∴d＜2，
∴k＞1或k＜-1．
∴s(k)=

1

2

×2

4-d2

•d=

4- 8 1+k2

•

2 2

1+k2

=4

2

k2-1 (1+k2)2

（k＞1或k＜-1）．
（2）s(k)=4

2

-2 (1+k2)2 + 1 1+k2

=4

2

-2( 1 1+k2 - 1 4 )2+ 1 8

≤2，
∴k=±

3

時(shí)，有s（k）_max=2．
故，直線l的方程為：x-

3

y+2

2

=0或x+

3

y+2

2

=0．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查直線和圓的方程的聯(lián)立問(wèn)題，同時(shí)要注意①點(diǎn)到線的距離公式②直角三角形等．