Question

15．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c （a，b，c∈R）在x=-1處有極值，在x=3處的切線方程為y=-16．
（1）求a，b，c的值；
（2）求函數(shù)f（x）在[-3，4]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得f′（-1）=0，f′（3）=0，f（3）=-16，解方程可得a，b，c；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，求出極值點(diǎn)，計(jì)算f（3），f（-3），f（-1），f（4）比較大小，即可得到最值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²+2ax+b，
在x=-1處有極值，即有f′（-1）=0，即3-2a+b=0，
又在x=3處的切線方程為y=-16，即有f′（3）=27+6a+b=0，
f（3）=27+9a+3b+c=-16，
解方程可得，a=-3，b=-9，c=11；
（2）f（x）=x³-3x²-9x+11的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²-6x-9，
由f′（x）=0，解得x=3或-1，
由f（3）=27-27-27+11=-16，f（-1）=-1-3+9+11=16，
f（4）=64-48-36+11=-9，f（-3）=-27-27+27+11=-16．
可得f（x）的最大值為16，最小值為-16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和極值、最值，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．