Question

18．已知集合A={a₁，a₂，…，a_n}（n＞2），令T_A={x|x=a_i+a_j，1≤i＜j≤n}，card（T_A）表示集合T_A中元素的個(gè)數(shù)．關(guān)于card（T_A）有下列兩個(gè)命題
①若a₁，a₂，…，a_n（n＞2）可構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)列，則card（T_A）=2n-3；
②若a₁，a₂，…，a_n（n＞2）可構(gòu)成公比不為1的等比數(shù)列，則$card（{T_A}）=\frac{1}{2}n（n-1）$．
其中，正確的是（　�。�

• A． ①
• B． ②
• C． ①②
• D． 都不正確

Answer 1

分析 ①若數(shù)列a₁，a₂，…，a_n，構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)列，表示出T_A，可得：card（T_A）=2n-3．
②若數(shù)列a₁，a₂，…，a_n，構(gòu)成公比不為1的等比數(shù)列，表示出T_A，可得：card（T_A）=${C}_{n}^{2}$．

解答 解：①若數(shù)列a₁，a₂，…，a_n，構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)列，不妨令公差為d，
則A={a₁，a₁+d，…，a₁+（n-1）d}，
T_A={2a₁+d，2a₁+2d，2a₁+3d，…，2a₁+（2n-3）d}，
∴T_A中共2n-3個(gè)元素，
即card（T_A）=2n-3．
②若數(shù)列a₁，a₂，…，a_n，構(gòu)成公比不為1的等比數(shù)列，不妨令公比為q，
則A={a₁，a₁q，…，a₁q^（n-1）}，
則A中任意兩個(gè)元素的和均不相等，
故card（T_A）=${C}_{n}^{2}$=$\frac{1}{2}n（n-1）$，
故①②均正確，
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了集合元素的最大值問題，難度中檔．