Question

已知函數(shù)f(x)=

2x-1

2x+1

（1）求f（3）的值；      
（2）用單調(diào)性定義證明函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的值

專(zhuān)題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）代入求值即可，
（2）用定義法證明單調(diào)性一般可以分為五步，取值，作差，化簡(jiǎn)變形，判號(hào)，下結(jié)論．

解答： 解：（1）f(3)=

23-1

23+1

=

7

9

；
（2）任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=

2x1-1

2x1+1

-

2x2-1

2x2+1

=

(2x1-1)(2x2+1)-(2x2-1)(2x1+1)

(2x1+1)(2x2+1)

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x1＜x2∴2x1＜2x2，
即 2x1-2x2＜0，
又∵2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的證明，一般有兩種方法，定義法，導(dǎo)數(shù)法．屬于基礎(chǔ)題．