Question

如圖，三棱柱中,, ,平面平面,與相交于點(diǎn).

（1）求證：平面;

（2）設(shè)點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，且平面，求平面與平面夾角的余弦值.

Answer 1

(1)答案見(jiàn)解析；（2）平面與平面夾角的余弦值是

【解析】

試題分析：（1）已知平面平面，若證明線面垂直，需應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理，只需要證明平面經(jīng)過(guò)平面的垂線，即證：平面因?yàn)榈酌?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015063006060909092173/SYS201506300606142474779806_DA/SYS201506300606142474779806_DA.005.png">為菱形，所以為的中點(diǎn)，在中，為的中點(diǎn)，所以垂直平面進(jìn)而得證；（2）過(guò)點(diǎn)的直線平行平面，過(guò)點(diǎn)的平面垂直平面，顯然取中點(diǎn)，顯然點(diǎn)為的中點(diǎn)，由（1）建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而分別得到兩個(gè)平面的法向量，利用公式求得面面角的夾角的余弦值.

試題解析：（1）由已知得側(cè)面是菱形,是的中點(diǎn)，

2分

平面平面，且，平面平面=AC1

平面. 4分

（2）設(shè)點(diǎn)是的中點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以平面，

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015063006060909092173/SYS201506300606142474779806_DA/SYS201506300606142474779806_DA.039.png">面，所以平面平面，又平面平面，

平面平面，所以，所以點(diǎn)是的中點(diǎn)。 6分

如圖，以為原點(diǎn),以所在直線分別為軸, 軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

由已知可得 所以

7分

設(shè)平面的一個(gè)法向量是由得，

又

由

令，所以 9分

平面平面 ，，所以平面∴是平面的一個(gè)法向量是， 10分

平面與平面夾角的余弦值是 12分

考點(diǎn)：1.面面垂直的性質(zhì)定理；2.線面平行的判定定理；3.向量法求二面角.