橢圓的離心率為，且過點直線與橢圓M交于A、C兩點，直線與橢圓M交于B、D兩點，四邊形ABCD是平行四邊形

（1）求橢圓M的方程；

（2）求證：平行四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于原點O；

（3）若平行四邊形ABCD為菱形，求菱形ABCD的面積的最小值

 

【答案】

（1）；（2）詳見解析；（3）最小值為

【解析】

試題分析：（1）依題意有，再加上，解此方程組即可得的值，從而得橢圓 的方程（2）由于四邊形ABCD是平行四邊形，所以ABCD的對角線AC和BD的中點重合

利用（1）所得橢圓方程，聯(lián)立方程組消去得：，顯然點A、C的橫坐標是這個方程的兩個根，由此可得線段的中點為 同理可得線段的中點為，由于中點重合，所以，解得：或(舍)這說明和都過原點即相交于原點（3）由于對角線過原點且該四邊形為菱形，所以其面積為由方程組易得點A的坐標（用表示），從而得（用表示）；同理可得（由于，故仍可用表示）這樣就可將表示為的函數(shù)，從而求得其最小值

試題解析：（1）依題意有，又因為，所以得

故橢圓的方程為 3分

（2）依題意，點滿足

所以是方程的兩個根

得

所以線段的中點為

同理，所以線段的中點為 5分

因為四邊形是平行四邊形，所以

解得，或(舍)

即平行四邊形的對角線和相交于原點 7分

（3）點滿足

所以是方程的兩個根，即

故

同理， 9分

又因為，所以，其中

從而菱形的面積為

，

整理得，其中 10分

故，當或時，菱形的面積最小，該最小值為 12分

考點：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知中心在原點、焦點在x軸的橢圓的離心率為，且過點（，）.

(Ⅰ)求橢圓E的方程；

(Ⅱ)若A,B是橢圓E的左、右頂點，直線：（）與橢圓E交于、兩點，證明直線與直線的交點在垂直于軸的定直線上，并求出該直線方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆山西省高三第一學(xué)期8月月考文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，且過點.

（1）求橢圓的方程；

（2）若過點C（-1，0）且斜率為的直線與橢圓相交于不同的兩點，試問在軸上是否存在點，使是與無關(guān)的常數(shù)？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年湖南省株洲市高三第五次月考文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，且過點.

（1）求橢圓的方程；

（2）若過點C（-1，0）且斜率為的直線與橢圓相交于不同的兩點，試問在軸上是否存在點，使是與無關(guān)的常數(shù)？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆黑龍江省高二上學(xué)期期末文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，且過點（），

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線與橢圓交于P，Q兩點，且以PQ為對角線的菱形的一頂點為（-1，0），求：△OPQ面積的最大值及此時直線的方程.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆陜西省西安市高二上學(xué)期期末考試理科數(shù)學(xué)卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，且過點，為其右焦點.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)過點的直線與橢圓相交于、兩點（點在兩點之間），若與的面積相等，試求直線的方程.

 

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