Question

12．設(shè)集合A={y|y=ln[kx²-（k+3）x-1]，x∈R}，集合B={y|y=x-$\frac{1}{x}$，x∈R}，若A=B，則k的取值范圍是[0，+∞）．

Answer 1

分析 對于集合B：f（x）=x-$\frac{1}{x}$（x≠0），f′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，利用單調(diào)性可得：其值域為R．因此集合A=R．對于集合A：k=0時化為g（x）=ln（-3x-1），要求-3x-1＞0，解得$x＜-\frac{1}{3}$，此時g（x）的值域為R，滿足題意．k≠0，由$\left\{\begin{array}{l}{k＞0}\\{△=（k+3）^{2}+4k＞0}\end{array}\right.$解得：k＞0，此時函數(shù)的值域為R．即可得出．

解答 解：對于集合B：f（x）=x-$\frac{1}{x}$（x≠0），f′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，∴函數(shù)f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上單調(diào)遞增．其值域為R．
∵A=B，因此集合A=R．
對于集合A：k=0時化為g（x）=ln（-3x-1），要求-3x-1＞0，解得$x＜-\frac{1}{3}$，此時g（x）的值域為R，滿足題意．
k≠0，由$\left\{\begin{array}{l}{k＞0}\\{△=（k+3）^{2}+4k＞0}\end{array}\right.$解得：k＞0，此時函數(shù)的值域為R．
綜上可得：k的取值范圍是[0，+∞）．
故答案為：[0，+∞）．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性值域、集合相等、一元二次不等式的解集與判別式的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．