Question

17．已知函數(shù)f（x）=ax-1+blnx在點（1，f（1））處的切線為x軸．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當x＞0時，證明$\frac{1}{x+1}$＜ln$\frac{x+1}{x}$＜$\frac{1}{x}$．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導數(shù)，求得切線的斜率和切點，得到a，b的方程，即可得到f（x）的解析式，令導數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導數(shù)小于0，得減區(qū)間；
（2）設(shè)Φ（x）=ln（1+x）-$\frac{x}{x+1}$，求得導數(shù)，由單調(diào)性，由此能夠證明ln（1+x）＞$\frac{x}{x+1}$，將x換為$\frac{1}{x}$，即有l(wèi)n（1+$\frac{1}{x}$）＞$\frac{1}{x+1}$；再由f（x）的單調(diào)區(qū)間，可得f（x）≥f（1），即為lnx≤x-1，由x＞0，將x換為1+$\frac{1}{x}$，即可得證．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=ax-1+blnx的導數(shù)為f′（x）=a+$\frac{x}$，
由在點（1，f（1））處的切線為x軸，
可得a+b=0，且a-1=0，
解得a=1，b=-1，
則f（x）=x-1-lnx，
導數(shù)為f′（x）=1-$\frac{1}{x}$，
由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得0＜x＜1．
即有f（x）的增區(qū)間為（1，+∞），減區(qū)間為（0，1）；
（2）證明：設(shè)Φ（x）=ln（1+x）-$\frac{x}{x+1}$，
對ϕ（x）求導，得：Φ′（x）=$\frac{1}{x+1}$-$\frac{1}{（x+1）^{2}}$=$\frac{x}{（x+1）^{2}}$，
當x＞0時，ϕ′（x）＞0，
∴ϕ（x）在（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)．
當x＞0時，ϕ（x）＞ϕ（0）=0，
即ln（1+x）-$\frac{x}{x+1}$＞0，
∴即有l(wèi)n（1+x）＞$\frac{x}{x+1}$，
將x換為$\frac{1}{x}$，即有l(wèi)n（1+$\frac{1}{x}$）＞$\frac{1}{x+1}$；
由f（x）=x-1-lnx的增區(qū)間為（1，+∞），減區(qū)間為（0，1），
可得f（x）≥f（1），即為lnx≤x-1，
由x＞0，將x換為1+$\frac{1}{x}$，即有l(wèi)n（1+$\frac{1}{x}$）＜$\frac{1}{x}$．
則有$\frac{1}{x+1}$＜ln$\frac{x+1}{x}$＜$\frac{1}{x}$成立．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查不等式的證明，考查推理論證能力，運算推導能力，等價轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想．解題時要認真審題，仔細解答，注意導數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用．