Question

已知（5x+1）ⁿ（n≤10，n∈N^*）的展開式中，第2，3，4項的系數成等差數列．
（1）求（5x+1）ⁿ展開式中二項式系數最大的項；    
（2）求（5x+1）ⁿ展開式中系數最大的項．

Answer 1

考點：二項式定理的應用,二項式系數的性質

專題：計算題,二項式定理

分析：（1）由第2，3，4項的系數成等差數列，可得關于n的方程，求出n．而二項式系數最大的項為中間項，n為奇數時，中間兩項二項式系數相等；n為偶數時，中間只有一項．
（2）設T_r+1項的系數最大，則

C r 7 •57-r≥ C r+1 7 •56-r C r 7 •57-r≥ C r-1 7 •58-r

，求出r，即可得出結論．

解答： 解：（1）∵第2，3，4項的系數成等差數列，
∴C_n¹•5^n-1+C_n³•5^n-3=2C_n²•5^n-2，
∴n²-33n+182=0，
∴n=7或n=26（舍去）．
當n=7時，展開式中二項式系數最大的項是T₄和T₅，
∴T₄=C₇³（5x）⁴=21875x⁴，T₅=C₇⁴（5x）³=4375x³．
（2）設T_r+1項的系數最大，則

C r 7 •57-r≥ C r+1 7 •56-r C r 7 •57-r≥ C r-1 7 •58-r

∴

1

3

≤r≤

4

3

，∴r=1，
∴展開式中系數最大的項為T₂．
T₂=C₇¹（5x）⁶=109375x⁶．

點評：本題考查二項展開式中二項式系數和與系數和問題，難度較大，易出錯．要正確區(qū)分這兩個概念．