Question

設(shè)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左，右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率e=

2

2

，過F₁F₂分別作直線l₁，l₂且l₁⊥l₂，l₁，l₂分別交直線l：x=

2

a于M，N兩點．
（Ⅰ）若|

F1M

|=|

F2N

|=2

5

，求橢圓的方程；
（Ⅱ）當(dāng)|

MN

|取最小值時，試探究|

F1M

|+|

F2N

|與

F1F2

的關(guān)系．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)M（

2

a，y₁），N（

2

a，y₂），由l₁⊥l₂，得y1y2=-

3

2

a2＜0，|

F1M

|=|

F2N

|=2

5

，得

( 3 2 2 a)2+y12

=2

5

，

( 2 2 a)2+y22

=2

5

，由此能求出橢圓方程為

x2

4

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）|MN|²=（y₁-y₂）²≥6a²，當(dāng)且僅當(dāng)y1=-y2=

6

2

a或y2=-y1=

6

2

a時，|MN|取最小值

6

2

a，由此能求出|

F1M

|+|

F2N

|與

F1F2

共線．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左，右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，
離心率e=

2

2

，過F₁F₂分別作直線l₁，l₂且l₁⊥l₂，
l₁，l₂分別交直線l：x=

2

a于M，N兩點，
∴

a2-b2=c2 c a = 2 2

，解得a²=2b²，b=c，
∴F1(-

2

2

a，0)，F2(

2

2

a，0)，
設(shè)M（

2

a，y₁），N（

2

a，y₂），則

F1M

=(

3 2

2

a，y1)，

F2N

=(

2

2

a，y2)，
由l₁⊥l₂，得

F1M

•

F2N

=0，∴y1y2=-

3

2

a2＜0，①
∵|

F1M

|=|

F2N

|=2

5

，
∴

( 3 2 2 a)2+y12

=2

5

，②，

( 2 2 a)2+y22

=2

5

，③
由①②③三式，消去y₁，y₂，解得a²=4，b=

2

，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）證明：|MN|²=（y₁-y₂）²=y12+y22-2y₁y₂
≥-2y₁y₂-2y₁y₂=-4y₁y₂=6a²，
當(dāng)且僅當(dāng)y1=-y2=

6

2

a或y2=-y1=

6

2

a時，
|MN|取最小值

6

2

a，
此時

F1M

+

F2N

=（

3 2

2

a，y1）+（

2

2

a，y2）=（2

2

a，y₁+y₂）=（2

2

a，0）=2

F1F2

，
∴|

F1M

|+|

F2N

|與

F1F2

共線．

點評：本題重點考查橢圓中的基本量的關(guān)系，進而求橢圓待定常數(shù)，考查向量的綜合應(yīng)用；熟悉橢圓各基本量間的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合，熟練地進行向量的坐標(biāo)運算，設(shè)而不求消元的思想在圓錐曲線問題中的靈活應(yīng)用．