Question

已知函數(shù)f（x）=alnx+

1

2

x²-（1+a）x．
（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，求f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）證明：對(duì)于任意不小于2的正整數(shù)n，不等式

1

ln2

+

1

ln3

…+

1

lnn

＞1-

1

n

恒成立．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）a=1時(shí)，f（x）=-lnx+

1

2

x²，通過求導(dǎo)得出斜率k的值，代入點(diǎn)斜式方程即可；
（Ⅱ）將a分情況進(jìn)行討論：①當(dāng)a≤0時(shí)，②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，③a=1時(shí)，④a＞1時(shí)，從而求出單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）當(dāng)a=-

1

2

時(shí)，得到不等式：lnx≤x²-x，當(dāng)x＞1時(shí)，可變化為：

1

lnx

＞

1

x2-x

=

1

(x-1)x

，在上面不等式中分別令x=2，3，4，…，n，從而證出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）a=1時(shí)，
f（x）=-lnx+

1

2

x²，
∴f′（x）=-

1

x

+x，
∴k=f′（e）=e-

1

e

，
∴切線方程為：y=（e-

1

e

）x-

1

2

e²；
（Ⅱ）f（x）=

a

x

+x-（1+a）
=

x2-(1+a)x+a

x

=

(x-1)(x-a)

x

，
①當(dāng)a≤0時(shí)，若0＜x＜1，則f′（x）＜0，若x＞1，則f′（x）＞0，
故此時(shí)函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1），單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞），
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，a），（1，+∞）上遞增，在（1，a）上遞減，
③a=1時(shí)，f′（x）=

(x-1)2

x

≥0，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞），
④a＞1時(shí)，同0＜a＜1可得：函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1），（a，+∞），
遞減區(qū)間是（1，a）．
（Ⅲ）當(dāng)a=-

1

2

時(shí)，f（x）=-

1

2

lnx+

1

2

x²-

1

2

x≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立，
這個(gè)不等式即為：lnx≤x²-x，
當(dāng)x＞1時(shí)，可變化為：

1

lnx

＞

1

x2-x

=

1

(x-1)x

，
在上面不等式中分別令x=2，3，4，…，n，
∴

1

ln2

+

1

ln3

+…+

1

lnn

＞

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)n

=1-

1

n

，
∴

1

ln2

+

1

ln3

+…+

1

lnn

＞1-

1

n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求切線方程，以及不等式的證明，滲透了分類討論思想，是一道綜合題．