Question

已知函數(shù)f（x）=x²-lnx-ax，a∈R．
（Ⅰ）若存在x∈（0，+∞），使得f（x）＜0，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若f（x）=x有兩個不同的實數(shù)解u，v（0＜u＜v），證明：f′（

u+v

2

）＞1．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）當x∈（0，+∞）時，f（x）＜0等價于x-

lnx

x

＜a．由此利用導數(shù)的性質能求出a的取值范圍．
（Ⅱ）由已知條件推導出a=u+v-

lnu-lnv

u-v

-1．f′（

u+v

2

）=

lnu-lnv

u-v

-

2

u+v

+1，設h（u）=lnu-lnv-

2(u-v)

u+v

，由此利用函數(shù)的單調性能證明f′（

u+v

2

）＞1．

解答： （Ⅰ）解：當x∈（0，+∞）時，f（x）＜0等價于x-

lnx

x

＜a．
令g（x）=x-

lnx

x

，則g′（x）=

x2-1+lnx

x2

．
當x∈（0，1）時，g′（x）＜0；
當x∈（1，+∞）時，g′（x）＞0．
g（x）有最小值g（1）=1．…（4分）
∴a的取值范圍是（1，+∞）．…（5分）
（Ⅱ）證明：∵f（x）=x，即x²-lnx=（a+1）x有兩個不同的實數(shù)解u，v．
∴u²-lnu=（a+1）u，v²-lnv=（a+1）v．
∴（u+v）（u-v）-（lnu-lnv）=（a+1）（u-v）．…（7分）
由u-v＜0，解得a=u+v-

lnu-lnv

u-v

-1．
又f′（x）=2x-

1

x

-a，
∴f′（

u+v

2

）=（u+v）-

2

u+v

-（u+v）+

lnu-lnv

u-v

+1
=

lnu-lnv

u-v

-

2

u+v

+1．…（9分）
設h（u）=lnu-lnv-

2(u-v)

u+v

，
則當u∈（0，v）時，h′（u）=

(u-v)2

u(u+v)2

＞0，
h（u）在（0，v）單調遞增，h（u）＜h（v）=0，
從而

lnu-lnv

u-v

-

2

u+v

＞0，
∴f′（

u+v

2

）＞1．（12分）

點評：本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質的靈活運用．