【題目】在直平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是菱形,∠DAB=60°,AC∩BD=O,AB=AA1=1.

(1)求證:OC1∥平面AB1D1
(2)求證:平面AB1D1⊥平面ACC1A1
(3)求三棱錐A1﹣AB1D1的體積.

【答案】
(1)證明:設(shè)A1C1∩B1D1=O1,連接AO1

因為AA1∥CC1且AA1=CC1,

所以四邊形AA1C1C是平行四邊形.

所以A1C1∥AC且A1C1=AC.

因為底面ABCD是菱形,

所以O(shè)1C1∥AO且O1C1=AO.

所以四邊形AOC1O1是平行四邊形.

所以AO1∥OC1

因為AO1平面AB1D1,OC1平面AB1D1

所以O(shè)C1∥平面AB1D1


(2)證明:因為AA1⊥平面A1B1C1D1,B1D1平面A1B1C1D1,

所以B1D1⊥AA1

因為底面ABCD是菱形,

所以B1D1⊥A1C1,又因為AA1∩A1C1=A1,

所以B1D1⊥平面ACC1A1.因為B1D1平面AB1D1,

所以平面AB1D1⊥平面ACC1A1


(3)解:由題意可知,AA1⊥平面A1B1C1D1,

所以AA1為三棱錐A﹣A1B1D1的高.

因為

所以三棱錐A1﹣AB1D1的體積為


【解析】(1)由直平行六面體的結(jié)構(gòu)特征可知AO1 OC1 , 于是OC1∥平面AB1D1;(2)由線面垂直的性質(zhì)得AA1⊥B1D1 , 由菱形的性質(zhì)得A1C1⊥B1D1 , 故而B1D1⊥平面ACC1A1 , 于是平面AB1D1⊥平面ACC1A1;
(III)以△A1B1D1為棱錐的底面,AA1為棱錐的高,代入棱錐的體積公式計算即可.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行;一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直.

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