【題目】已知函數(shù)(其中是自然對數(shù)的底數(shù), ).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)函數(shù)有兩個零點時,證明: .
【答案】(1) 當(dāng)時,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增;當(dāng)時,函數(shù)在R上單調(diào)遞增.(2)見解析.
【解析】試題分析:(1)對求導(dǎo),再對進(jìn)行分類討論,根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系,即可求得函數(shù)的單調(diào)性;(2)當(dāng)時,由(1)知函數(shù)單調(diào)遞增,不存在兩個零點,故,設(shè)函數(shù)的兩個零點為,代入到,可得,作差后,令結(jié)合,求得,欲證,只需證明,構(gòu)造,求導(dǎo),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得,從而證出.
試題解析:(1)解:∵
∴當(dāng)時,令,即當(dāng)時, ,
當(dāng)時, ,即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增;
當(dāng)時, 恒成立,故此時函數(shù)在R上單調(diào)遞增.
(2)證明:當(dāng)時,由(1)知函數(shù)單調(diào)遞增,不存在兩個零點,所以
設(shè)函數(shù)的兩個零點為,則
∴
∴
設(shè)
解得,所以
欲證,只需證明
設(shè),則
設(shè),則單調(diào)遞增
∴
∴在區(qū)間上單調(diào)遞增
∴
∴,故成立.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=kex﹣x3+2 (k∈R)恰有三個極值點xl,x2,x3,且xl<x2<x3.
(I)求k的取值范圍:
(II)求f(x2)的取值范圍.
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【題目】我國古代稱直角三角形為勾股形,并且直角邊中較小者為勾,另一直角邊為股,斜邊為弦.若a,b,c為直角三角形的三邊,其中c為斜邊,則a2+b2=c2,稱這個定理為勾股定理.現(xiàn)將這一定理推廣到立體幾何中:在四面體O-ABC中,∠AOB=∠BOC=∠COA=90°,S為頂點O所對面的面積,S1,S2,S3分別為側(cè)面△OAB,△OAC,△OBC的面積,則下列選項中對于S,S1,S2,S3滿足的關(guān)系描述正確的為( )
A. S2=S+S+S B.
C. S=S1+S2+S3 D.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),已知點及線段,在線段上任取一點,線段長度的最小值稱為“點到線段的距離”,記為.
(1)設(shè)點,線段 ,求;
(2)設(shè), , , ,線段,線段,若點滿足,求關(guān)于的函數(shù)解析式,并寫出該函數(shù)的值域.
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【題目】某公司研制出了一種新產(chǎn)品,試制了一批樣品分別在國內(nèi)和國外上市銷售,并且價格根據(jù)銷售情況不斷進(jìn)行調(diào)整,結(jié)果40天內(nèi)全部銷完.公司對銷售及銷售利潤進(jìn)行了調(diào)研,結(jié)果如圖所示,其中圖①(一條折線)、圖②(一條拋物線段)分別是國外和國內(nèi)市場的日銷售量與上市時間的關(guān)系,圖③是每件樣品的銷售利潤與上市時間的關(guān)系.
(1)分別寫出國外市場的日銷售量f(t)與上市時間t的關(guān)系及國內(nèi)市場的日銷售量g(t)與上市時間t的關(guān)系;
(2)國外和國內(nèi)的日銷售利潤之和有沒有可能恰好等于6 300萬元?若有,請說明是上市后的第幾天;若沒有,請說明理由.
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【題目】某中學(xué)舉行了一次“環(huán)保知識競賽”,全校學(xué)生參加了這次競賽,為了了解本次競賽成績情況,從中抽取了部分學(xué)生的成績(得分取正整數(shù),滿分為100分)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計,請根據(jù)下面尚未完成并有局部污損的頻率分布表(如圖所示),解決下列問題.
組別 | 分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
第1組 | [50,60) | 8 | 0.16 |
第2組 | [60,70) | a | ■ |
第3組 | [70,80) | 20 | 0.40 |
第4組 | [80,90) | ■ | 0.08 |
第5組 | [90,100] | 2 | b |
合計 | ■ | ■ |
(1)求出a,b的值;
(2)在選取的樣本中,從競賽成績是80分以上(含80分)的同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)到廣場參加環(huán)保知識的志愿宣傳活動.
①求所抽取的2名同學(xué)中至少有1名同學(xué)來自第5組的概率;
②求所抽取的2名同學(xué)來自同一組的概率.
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【題目】如圖,點是圓內(nèi)的一個定點,點是圓上的任意一點,線段的垂直平分線和半徑相交于點,當(dāng)點在圓上運動時,點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)點, ,直線與軸交于點,直線與軸交于點,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某運輸公司接受了向一地區(qū)每天至少運送180 t物資的任務(wù),該公司有8輛載重為6 t的A型卡車和4輛載重為10 t的B型卡車,有10名駕駛員,每輛卡車每天往返的次數(shù)為A型卡車4次,B型卡車3次,每輛卡車每天往返的費用為A型卡車320元,B型卡車504元,則公司如何調(diào)配車輛,才能使公司所花的費用最低,最低費用為________元.
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