Question

已知數(shù)列{a_n}是公差為-2的等差數(shù)列，a₆是a₁+2與a₃的等比中項(xiàng)．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求S_n的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件得

a

2 6

=(a1+2)a3，即(a1-10)2=(a1+2)(a1-4)，由此能求出a_n=8-2n．
（Ⅱ）由已知條件推導(dǎo)出數(shù)列{a_n}的前3項(xiàng)大于零，第4項(xiàng)等于零，以后各項(xiàng)均小于零．所以當(dāng)n=3或n=4時(shí)S_n取得最大值．

解答： （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）因?yàn)閍₆是a₁+2與a₃的等比中項(xiàng)，
所以

a

2 6

=(a1+2)a3．（2分）
因?yàn)閿?shù)列{a_n}是公差為-2的等差數(shù)列，
所以(a1-10)2=(a1+2)(a1-4)，（4分）
解得a₁=6．（6分）
所以a_n=a₁+（n-1）d=6-2（n-1）=8-2n．（8分）
（Ⅱ）解a_n≥0，即8-2n≥0，得n≤4，（10分）
故數(shù)列{a_n}的前3項(xiàng)大于零，第4項(xiàng)等于零，以后各項(xiàng)均小于零．
所以，當(dāng)n=3或n=4時(shí)，S_n取得最大值．（11分）
S3=S4=

4

2

(a1+a4)=12．
所以S_n的最大值為12．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．