Question

已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為10，公差為2，數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足b_n=

n

2

a_n-6n，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記c_n=max{a_n，b_n}，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．（注：max{a，b}表示a與b的最大值．）

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出a_n=2n+8，bn=

n

2

an-6n=

n

2

•(2n+8n)-6n=n2-2n．
（2）bn-an=(n2-2n)-(2n+8)=n2-4n-8，由此進(jìn)行分類(lèi)討論能求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}是以10為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=10+2（n-1）=2n+8，
∴bn=

n

2

an-6n=

n

2

•(2n+8n)-6n=n2-2n．
（2）bn-an=(n2-2n)-(2n+8)=n2-4n-8，
令bn-an=0⇒n2-4n-8=0，
解得n=2±2

3

，
∴當(dāng)1≤n＜2+2

3

時(shí)，b_n-a_n＜0，即a_n＞b_n，
∴當(dāng)n≤5且n∈N^*時(shí)，c_n=max{a_n，b_n}=a_n=2n+8，
當(dāng)n≥6且n∈N^*時(shí)，a_n＜b_n，
cn=max{an，bn}=bn=n2-2n，
當(dāng)n≤5且n∈N^*時(shí)，
Sn=c1+c2+…+cn=a1+a2+…+an=

n(a1+an)

2

=

n•(10+2n+8)

2

=n2+9n，
∴S5=52+9×5=70，
當(dāng)n≥6且n∈N^*時(shí)，
Sn=S5+(b6+b7+…+bn)=70+[(62-2×6)+(72-2×7)+…+(n2-2n)]
=70+（6²+7²+…+n²）-2×（6+7+…+n）
=70+[(12+22+…+n2)-(12+22+32+42+52)]-2×

(6+n)(n-5)

2

=70+

n(n+1)(2n+1)

6

-55-(n+6)(n-5)
=

n(n+1)(2n+1)

6

-(n2+n-30)+25
=

1

3

n3-

1

2

n2+

5

6

n+45，
∴S_n=

cn2+9n，n≤5 1 3 n3- 1 2 n2+ 5 6 n+45，n＞5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類(lèi)討論思想的合理運(yùn)用．